Изменения

[[Файл:LeftistHeap.jpg|400px|thumb|right|Левосторонняя куча]]==ОпределениеУсловие кучи==

|definition='''Левосторонняя куча ''' (англ. ''leftist heap)''' — ) {{---}} двоичное левосторонее [[Дерево, эквивалентные определения|дерево ]] (не обязательно сбалансированное), но с соблюдением [[Двоичная куча#Определение|порядка кучи ]] (heap order).}}'''Свободной позицией''' назовем место в дереве, куда может быть вставлена новая вершина. Само дерево будет являться свободной позицией, если оно не содержит вершин. Если же у какой-то внутренней вершины нет сына, то на его месте {{---}} ''свободная позиция''.

Ближайшая свободная позиция должна быть самой правой позицией в дереве. То есть помимо обычного условия кучи выполняется следующее:

|definition='''Условие левосторонней кучи'''. Пусть <tex>dist(u)</tex> – {{---}} расстояние от вершины <tex>u</tex> до ближайшей свободной позиции в ее поддереве. У пустых позиций <tex>dist = 0</tex>. Тогда потребуем для любой вершины <tex>u : dist(u.Lleft)\ge dictgeqslant dist(u.Rright)</tex>.}}

<code> '''LeftistHeap''' merge(x,y) : <font color=darkgreen>//x,y – {{---}} корни двух деревьев</font> '''if ''' x == NULL <tex> \varnothing </tex>: '''return ''' y '''if ''' y == NULL <tex> \varnothing </tex>: '''return ''' x '''if ''' y.key < x.key : swap(x <tex>\leftrightarrow</tex> , y) <font color=darkgreen>//Воспользуемся тем, что куча левосторонняя. Правая ветка — {{---}} самая короткая и не длиннеелогарифма. //логарифма. Пойдем направо и сольем правое поддерево с у.</font> x.R <tex>\leftarrow</tex> right = '''merge'''(x.Rright, y) <font color=darkgreen>//Могло возникнуть нарушение левостороннести кучи.</font> If '''if''' dist(x.Rright) > dist(x.Lleft): swap(x.L <tex>\leftrightarrow</tex> left, x.Rright) update dist(x) //dist(x) = min(dist(x.Lleft), dist(x.Rright)) + 1<font color=darkgreen>// пересчитаем расстояние до ближайшей свободной позиции</font> '''return ''' x; <font color=darkgreen>//Каждый раз идет в идем из уже существующей вершине вершины только в правое поддерево — {{---}} не более логарифма вызовов (по лемме).</codefont>

Аналогично удаляется любой элемент — {{---}} на его место ставится результат слияния его детей. Но так просто любой элемент удалить нельзя — {{---}} на пути от этого элемента к корню может нарушиться левостороннесть кучи. А до корня мы дойти не можем, так как элемент может находиться на линейной глубине. Поэтому удаление реализуется с помощью <tex>decrease key\mathrm{decreaseKey}</tex>. Уменьшаем ключ до <tex>-\infty</tex>, затем извлекаем минимальное значение. ===decKeydecreaseKey===

|statement=У левостороннего дерева с правой ветвью длинны длины <tex>h</tex> количество узлов <tex>n \ge geqslant 2^{h} - 1</tex>.

При <tex>h = 1</tex> – {{---}} верно.

По индукции число узлов в каждом из них больше или равно <tex>2^{h - 1} - 1</tex>, тогда во все всем дереве <tex>n \ge geqslant (2^{h - 1} - 1) + (2^{h - 1} - 1) + 1 = 2^{h} - 1</tex> узлов.}}

1. * Найдем узел <tex>x</tex>, вырежем поддерево с корнем в этом узле. 2. * Пройдем от предка вырезанной вершины, при этом пересчитывая <tex>dist</tex>. Если <tex>dist</tex> левого сына вершины меньше <tex>dist</tex> правого, то меняем местами поддеревья.* Уменьшаем ключ данного узла и сливаем два дерева: исходное и вырезанное.

|proof=Длина пути от вершины до корня может быть и <tex>O(n)</tex>, но нам не нужно подниматься до корня — {{---}} достаточно подняться до вершины, у которой свойство левостороннести левосторонней кучи уже выполнено. Транспонируем только если <tex>dist(x.Lleft) < dist(x.Rright)</tex>, но <tex>dist(x.Rright) \le leqslant \log{n}</tex>. На каждом шаге, если нужно транспонируем и увеличиваем <tex>dist++</tex>, тогда <tex>dist</tex> увеличится до <tex>\log{n}</tex> и обменов уже не надо будет делать.}}Таким образом, мы восстановили левостороннесть кучи за <tex>O(\log{n})</tex>. Поэтому асимптотика операции <tex>\mathrm{decreaseKey} </tex> {{---}} <tex>O(\log{n})</tex>. ==Построение кучи за O(n)==Храним список левосторонних куч. Пока их количество больше <tex>1</tex>, из начала списка достаем две кучи, сливаем их и кладем в конец списка. Покажем, почему это будет работать за <tex> O(n) </tex>. Пусть на <tex> i </tex>-ом шаге алгоритма в нашем списке остались только кучи размера <tex> 2^i </tex>. На нулевом шаге у нас <tex> n </tex> куч из одного элемента, и на каждом следующем количество куч будет уменьшаться вдвое, а число вершин в куче будет увеличиваться вдвое. Слияние двух куч из <tex> n_i </tex> элементов выполняется за <tex> O(\log{n_i}) </tex>. Поэтому построение будет выполняться за <tex > \sum\limits_{i = 1}^{\left\lceil \log{n} \right\rceil} \dfrac{n \cdot \log{n_i}}{2^i} = n \cdot \sum\limits_{i = 1}^{\left\lceil \log{n} \right\rceil} \dfrac{\log{2^i}}{2^i} = n \cdot \sum\limits_{i = 1}^{\left\lceil \log{n} \right\rceil} \dfrac{i}{2^i}</tex> Покажем, что сумма {{---}} <tex> O(1) </tex>, тогда и алгоритм будет выполняться за <tex> O(n) </tex>. Найдём сумму [[Определение суммы числового ряда|ряда]], заменив его на эквивалентный [[Определение функционального ряда|функциональный]]: <tex> \sum\limits_{i = 1}^{\left\lceil \log{n} \right\rceil} \dfrac{i}{2^i} < \sum\limits_{i = 1}^{\infty } \dfrac{i}{2^i} \\f(x) = \sum\limits_{i = 1}^{\infty } \Bigl. i \cdot x^i \Bigr|_{x = \frac{1}{2}} \\ ~\dfrac{f(x)}{x} = \sum\limits_{i = 1}^{\infty } i \cdot x^{i - 1} = \sum\limits_{i = 1}^{\infty } (x^i)' = \left(\sum\limits_{i = 1}^{\infty } x^i \right)' \\~\int\dfrac{f(x)}{x} = \sum\limits_{i = 1}^{\infty } x^i =~\dfrac{1}{1 - x} - 1 \\~\dfrac{f(x)}{x} = \left(\dfrac{1}{1 - x} - 1\right)' = \dfrac{1}{(1 - x)^2} \\~f(x) = \dfrac{x}{(1 - x)^2}</tex> После подстановки <tex> x = \dfrac{1}{2} </tex> получаем, что сумма равна <tex> 2 </tex>. Следовательно, построение кучи таким образом произойдёт за <tex> O(n)</tex>.

Нигде не делается уничтожающих присваиваний. Не создается новых узлов в <tex>\mathrm{merge}</tex>. Эта реализация слияния является функциональной — ее легко реализовать на функциональном языке программирования. Также данная реалзация реализация <tex>\mathrm{merge }</tex> является персистентной. ==Источники информации==* [http://compscicenter.ru/program/lecture/6829 Лекция "Приоритетные очереди" А. С. Станкевича в Computer Science Center]* [http://www.intuit.ru/studies/courses/100/100/lecture/1539?page=1 Левосторонние кучи. Интуит.]* [[wikipedia:Leftist_tree|Wikipedia {{---}} Leftist tree]] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Приоритетные очереди]][[Категория: Структуры данных]]