Лексикографический порядок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 67 промежуточных версий 10 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
+
{{Определение
Пусть дано линейно упорядоченное множество <tex>~A=\{a_1<a_2<a_3<...<a_k\}</tex> - алфавит, <tex>A^*</tex> назовем множество подпоследовательностей конечной длины из алфавита <tex> A </tex>, <tex>A^*=\bigcup^{\infty}_{i=0} A^i</tex>, тогда лексикографическим порядком на множестве <tex>~A^*</tex> назовем такой порядок, при котором любые два элемента из множества <tex>A^*</tex> удовлетворяют условиям:<br>
+
|definition=Пусть даны две последовательности <tex> ~A = a_1 a_2 \dots a_n </tex>  и <tex> ~B = b_1 b_2 \dots b_m </tex>  
Пусть <tex>~x<y; x,y \in A^*; x=\{x_1,x_2,...,x_{i_1}\}; y=\{y_1,y_2,...,y_{i_2}\}; x_j,y_j \in A</tex>:
+
Тогда последовательность <tex> ~A </tex> '''лексикографически меньше''' (англ. ''lexicographically less'') последовательности <tex> ~B </tex>, если выполняется одно из двух условий:
* либо <tex>~i_2>i_1</tex> и <tex>\forall j\le{i_1}:x_j=y_j</tex>
+
*<tex> n < m </tex> и при этом <tex> a_i = b_i </tex> для всех <tex>i \in [1 .. n] </tex>,
* либо <tex>\exists n\le{\min(i_1,i_2)}:\forall j<n:x_j=y_j; x_n<y_n</tex>
+
* <tex> \exists k\leqslant \min(n, m): a_k < b_k </tex> и при этом <tex> \forall j : j < k ~a_j = b_j </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Приведем псевдокод сравнения последовательностей из элементов множества '''Т''':
 +
'''function''' compare(A, B : '''list <T>'''): '''Ord'''  <font color=green>// Возвращает "LT", если A < B, "GT", если A > B, или "EQ", если последовательности равны</font>
 +
  '''for''' i = 1 '''to''' min(len(A), len(B))
 +
    '''if''' A[i] < B[i]                    <font color=green> // i-й элемент А меньше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны</font>
 +
      '''return''' LT
 +
    '''if''' A[i] > B[i]                    <font color=green> // i-й элемент А больше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны</font>
 +
      '''return''' GT
 +
  '''if''' len(A) < len(B)                    <font color=green>// А {{---}} префикс В, но не равна ей</font>
 +
    '''return''' LT
 +
  '''if''' len(A) > len(B)                    <font color=green>// В {{---}} префикс А, но не равна ей</font>
 +
    '''return''' GT
 +
  '''return''' EQ                            <font color=green>// Длины последовательностей и все элементы равны</font>
 +
{{Определение
 +
|definition=Последовательности записаны в '''лексикографическом порядке''' (англ. ''lexicographical order''), если для любых <tex> i<j </tex> выполняется неравенство <tex> S_i<S_j </tex>, где <tex> S_i </tex> и <tex> S_j </tex> последовательности с номерами <tex> i </tex> и <tex> j </tex>.
 +
}}
 +
Например, слово "сон" лексикографически меньше слова "сонный", так как оно является его префиксом. Слово "низ" лексикографически меньше слова "нос", поскольку первые символы совпадают, а второй символ первого слова меньше, чем второй символ второго.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
# Последовательность чисел в любой системе счисления, записанных в фиксированной разрядной сетке (000, 001, 002, 003, 004, 005, , 999).
+
* Перестановки (<font color=#c355a0>'''светло-фиолетовым выделен'''</font> общий префикс, <font color=#992574>'''темно-фиолетовым'''</font> первый отличный элемент, так как <tex>4 < 6</tex>, то первая перестановка лексикографически меньше)
# Порядок слов в словаре. Предполагается, что буквы можно сравнивать, сравнивая их номера в алфавите. Тогда лексикографический порядок это, например, ААА, ААБ, ААВ, ААГ, , ЯЯЯ.
+
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
== Ссылки ==
+
| [[Файл:Compareperm.png]]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Лексикографический_порядок Лексикографический порядок]
+
|}
 +
* Сочетания (так как <tex>4 < 6</tex>, то первое сочетание лексикографически меньше)
 +
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
 +
| [[Файл:Comparechoose.png]]
 +
|}
 +
* [[комбинаторные объекты|Разбиение на слагаемые]] (так как <tex>4 < 9</tex>, то первое разбиение на слагаемые лексикографически меньше)
 +
{| cellpadding="4" style="margin-left: left; margin-right: left;"
 +
| [[Файл:Compare part.png]]
 +
|}
 +
 
 +
* Последовательность чисел в любой системе счисления, записанных в фиксированной разрядной сетке (<tex>000</tex>, <tex>001</tex>, <tex>002</tex>, <tex>003</tex>, <tex>004</tex>, <tex>005</tex>, <tex>\dots</tex>, <tex>999</tex>).
 +
* Порядок слов в словаре. Предполагается, что буквы можно сравнивать, сравнивая их номера в алфавите. Тогда лексикографический порядок {{---}} это, например, <tex>AAA</tex>, <tex>AAB</tex>, <tex>AAC</tex>, <tex>AAD</tex>, <tex>\dots</tex>, <tex>ZZZ</tex>.
 +
* Эти слова тоже записаны в лексикографическом порядке: <tex>airport</tex>, <tex>duck</tex>, <tex>horse</tex>, <tex>house</tex>, <tex>sleep</tex>.
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]
 +
* [[Получение предыдущего объекта]]
 +
* [[Получение следующего объекта]]
 +
== Источники информации==
 +
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Lexicographical_order Wikipedia {{---}} Lexicographical order]
 +
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%BA Википедия {{---}} Лексикографический порядок ]
 +
 
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
 
 +
[[Категория: Комбинаторика ]]

Текущая версия на 22:17, 16 июня 2019

Определение:
Пусть даны две последовательности [math] ~A = a_1 a_2 \dots a_n [/math] и [math] ~B = b_1 b_2 \dots b_m [/math]

Тогда последовательность [math] ~A [/math] лексикографически меньше (англ. lexicographically less) последовательности [math] ~B [/math], если выполняется одно из двух условий:

  • [math] n \lt m [/math] и при этом [math] a_i = b_i [/math] для всех [math]i \in [1 .. n] [/math],
  • [math] \exists k\leqslant \min(n, m): a_k \lt b_k [/math] и при этом [math] \forall j : j \lt k ~a_j = b_j [/math].


Приведем псевдокод сравнения последовательностей из элементов множества Т:

function compare(A, B : list <T>): Ord  // Возвращает "LT", если A < B, "GT", если A > B, или "EQ", если последовательности равны
  for i = 1 to min(len(A), len(B)) 
    if A[i] < B[i]                      // i-й элемент А меньше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны
      return LT
    if A[i] > B[i]                      // i-й элемент А больше i-го элемента B, но префиксы длины i - 1 равны
      return GT
  if len(A) < len(B)                    // А — префикс В, но не равна ей
    return LT
  if len(A) > len(B)                    // В — префикс А, но не равна ей
    return GT
  return EQ                             // Длины последовательностей и все элементы равны
Определение:
Последовательности записаны в лексикографическом порядке (англ. lexicographical order), если для любых [math] i\lt j [/math] выполняется неравенство [math] S_i\lt S_j [/math], где [math] S_i [/math] и [math] S_j [/math] последовательности с номерами [math] i [/math] и [math] j [/math].

Например, слово "сон" лексикографически меньше слова "сонный", так как оно является его префиксом. Слово "низ" лексикографически меньше слова "нос", поскольку первые символы совпадают, а второй символ первого слова меньше, чем второй символ второго.



Примеры[править]

  • Перестановки (светло-фиолетовым выделен общий префикс, темно-фиолетовым первый отличный элемент, так как [math]4 \lt 6[/math], то первая перестановка лексикографически меньше)
Compareperm.png
  • Сочетания (так как [math]4 \lt 6[/math], то первое сочетание лексикографически меньше)
Comparechoose.png
Compare part.png
  • Последовательность чисел в любой системе счисления, записанных в фиксированной разрядной сетке ([math]000[/math], [math]001[/math], [math]002[/math], [math]003[/math], [math]004[/math], [math]005[/math], [math]\dots[/math], [math]999[/math]).
  • Порядок слов в словаре. Предполагается, что буквы можно сравнивать, сравнивая их номера в алфавите. Тогда лексикографический порядок — это, например, [math]AAA[/math], [math]AAB[/math], [math]AAC[/math], [math]AAD[/math], [math]\dots[/math], [math]ZZZ[/math].
  • Эти слова тоже записаны в лексикографическом порядке: [math]airport[/math], [math]duck[/math], [math]horse[/math], [math]house[/math], [math]sleep[/math].

См. также[править]

Источники информации[править]