|
|
| (не показано 12 промежуточных версий 2 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{Требует доработки
| + | #перенаправление [[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа]] |
| − | |item1=Надо решить задачу о числе ожерелий!
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Лемма
| |
| − | |id=l1
| |
| − | |about=Бернсайда
| |
| − | |statement=
| |
| − | Число орбит <tex> = \frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } </tex>
| |
| − | }}
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |id=s1
| |
| − | |about=1
| |
| − | |statement=
| |
| − | <tex> |Orb(x)| = \frac { |G| } { |St(x) } </tex>
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | Преобразуем выражение для числа орбит, полученное из леммы Бернсайда. <br>
| |
| − | <tex>\frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } = \frac { \sum_{ g \in G } \sum_{ x \in X } \{gx = x\} } { |G| } = \frac { \sum_{ x \in X } \sum_{ g \in G } \{gx = x\} } { |G| }
| |
| − | = \frac { \sum_{ x \in X } |St(x)| } { |G| } = \sum_{ x \in X } \frac {1} { |Orb(x)| } </tex> <br>
| |
| − | Последнее преобразование выполнено на основании утверждения 1.
| |
| − | | |
| − | === Задача о числе ожерелий ===
| |
| − | Пусть есть <tex>n</tex> бусинок <tex>m</tex> разных сортов, <tex>n_i</tex> назовем количество бусинок <tex>i</tex>ого цвета<tex>(i \in [1;m])</tex>. Найти число ожерелий которые можно составить из этих бусинок. Ожерелья полученные поворотом друг из друга поворотом или отражением считаются одним ожерельем.
| |
| − | | |
| − | '''решение:'''
| |
| − | | |
| − | Эта задача равносильна следующей задаче: сколькими различными способами можно раскрасить вершины правильного <tex>n</tex>угольника вершины которого окрашены в цветов, а количество вершин каждого цвета равно <tex>n_i</tex>. Две расскраски считаются разными, если из одной нельзя получить другую с помощью симметрии или вращения.
| |
| − | | |
| − | Пусть <tex>M</tex> — множество всех возможных окрасок <tex>n</tex>угольника, <tex>D</tex> — группа симметрий <tex>n</tex>угольника, состоящая из <tex>2n</tex> преобразований. Группа <tex>G</tex> определяет группу перестановок на множестве <tex>M</tex>. Пусть <tex> g \in D</tex> — некое преобразование симметрии <tex> \Rightarrow </tex> для любого многоугольник <tex>x \in M</tex> можно сопоставить многоугольник получаемый из него симметрией <tex>g</tex>. Назовем сопоставление этой перестановки <tex>g'</tex>. Группу всех таких перестановок из <tex>D</tex> назовем <tex>D'</tex>.
| |
| − | | |
| − | Два многоугольника будут считаться разными, если из одного невозможно получить другой какой-либо перестановкой <tex>d' \in D'</tex> (они содержаться на разных орбитах группы <tex>D'</tex> действующей на множестве <tex>M</tex>). Поэтому для получения количества различных раскрасок вершин <tex>n</tex>угольника достаточно найти количество орбит группы <tex>D'</tex> на множестве <tex>M</tex>. По лемме Бернсайда, для этого нужно посчитать число неподвижных точек каждой перестановки <tex> d' \in D'</tex>.
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим повороты:
| |
| − | | |
| − | | |
| − | [[Категория:Теория групп]] | |
