{{Требует доработки|item1=Надо решить задачу о числе ожерелий!}}{{Лемма|id=l1|about=Бернсайда|statement=Число орбит <tex> = \frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } </tex>}}{{Утверждение|id=s1|about=1|statement=<tex> |Orb(x)| = \frac { |G| } { |St(x) } </tex>}}Преобразуем выражение для числа орбит, полученное из леммы Бернсайда. <br><tex>\frac { \sum_{g \in G} |Fix(g)| } { |G| } = \frac { \sum_{ g \in G } \sum_{ x \in X } \{gx = x\} } { |G| } = \frac { \sum_{ x \in X } \sum_{ g \in G } \{gx = x\} } { |G| } = \frac { \sum_{ x \in X } |St(x)| } { |G| } = \sum_{ x \in X } \frac {1} { |Orb(x)| } </tex> <br>Последнее преобразование выполнено на основании утверждения 1.=== Задача о числе ожерелий ===Пусть есть <tex>n</tex> бусинок <tex>m</tex> разных сортов, <tex>n_i</tex> назовем количество бусинок <tex>i</tex>ого цвета<tex>(i \in #перенаправление [1;m])</tex>. Найти число ожерелий которые можно составить из этих бусинок. Ожерелья полученные поворотом друг из друга поворотом или отражением считаются одним ожерельем.===='''решение:'''====Эта задача равносильна следующей задаче: сколькими различными способами можно раскрасить вершины правильного <tex>n</tex>угольника вершины которого окрашены в цветов, а количество вершин каждого цвета равно <tex>n_i</tex>. Две расскраски считаются разными, если из одной нельзя получить другую с помощью симметрии или вращения.Пусть <tex>M</tex> — множество всех возможных окрасок <tex>n</tex>угольника, <tex>D</tex> — группа симметрий <tex>n</tex>угольника, состоящая из <tex>2n</tex> преобразований. Группа <tex>G</tex> определяет группу перестановок на множестве <tex>M</tex>. Пусть <tex> g \in D</tex> — некое преобразование симметрии <tex> \Rightarrow </tex> для любого многоугольник <tex>x \in M</tex> можно сопоставить многоугольник получаемый из него симметрией <tex>g</tex>. Назовем сопоставление этой перестановки <tex>g'</tex>. Группу всех таких перестановок из <tex>D</tex> назовем <tex>D'</tex>.Два многоугольника будут считаться разными, если из одного невозможно получить другой какой-либо перестановкой <tex>d' \in D'</tex> (они содержаться на разных орбитах группы <tex>D'</tex> действующей на множестве <tex>M</tex>). Поэтому для получения количества различных раскрасок вершин <tex>n</tex>угольника достаточно найти количество орбит группы <tex>D'</tex> на множестве <tex>M</tex>. По лемме Бернсайда, для этого нужно посчитать число неподвижных точек каждой перестановки <tex> d' \in D'</tex>. '''Рассмотрим повороты:'''пусть <tex>k</tex> — общий делитель <tex>n_i</tex>ых<tex>(i \in [1..m]) \Rightarrow</tex> поворот <tex>a_1</tex> на угол <tex>\frac { 2\pi } { k }</tex> оставит неподвижными ожерелья из <tex>k</tex> одинаковых кусков длинны <tex>\frac {n} {k}</tex>. Каждый кусок состоит из <tex>\frac {n_i} { k } </tex> бусен <tex>i</tex>ого цвета, поэтому число неподвижных точек для поворота будет равно количеству способов расставить бусины на <tex>\frac {n} {k}</tex> местах.рассмотрим поворот <tex> a_i</tex> на угол <tex>\frac {2i\pi} {k}</tex>, где <tex> i \in [1..k]</tex>. Количество его неподвижных точек равно количеству неподвижных точек <tex>a_1</tex>, если <tex> i</tex> взаимно просто с <tex>k</tex>. Количество взаимно простых с <tex>k</tex>(не превосходящих <tex>k</tex>) — является функцией Эйлера <tex>\phi(k)</tex>.'''рассмотрим симметрии относительно осей:'''''1 случай:''<tex>n</tex> — нечетно.''2 случай:''<tex>n</tex> — четно.[[Категория:Теория группЛемма Бёрнсайда и Теорема Пойа]]
