Изменения
→Лемма Бёрнсайда: Добавлено пропущенное равно
|id=lemmaBerns.
|author=Бернсайд, '''англ.''' Burnside's lemma
|statement=Число орбит равно средней мощности стабилизатора элементов группы <tex>G</tex>. <texmath> |X/G| = </tex> <tex dpi = "180">\fracdfrac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{g \in G}|St(g)|</texmath>.
|proof=
Так как <tex>St(g)</tex> {{---}} стабилизатор элемента <tex>g</tex>, то по определению <texmath>\sum\limits_{g \in G}|St(g)| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</texmath>.
Следовательно для доказательства леммы необходимо и достаточно доказать следующее равенство:
<texmath>|X/G|\cdot|G| = |\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}|</texmath>
Введем обозначение <tex>C=X/G</tex>.
Рассмотрим правую часть равенства:
<texmath>|\{(x, g) \in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum\limits_{x \in X} |G_x| = \sum\limits_{x \in X}</texmath><tex dpi = "180"math> \fracdfrac{|G|}{|Gx|}</tex><tex> = |G| \sum\limits_{x \in X}</tex><tex dpi = "180">\fracdfrac{1}{|Gx|} </texmath><texmath>= |G|\sum\limits_{P\in C}\sum\limits_{x\in P}</texmath><tex dpi = "180"math> \fracdfrac{1}{|P|}</texmath>
Заметим, что <texmath>\sum\limits_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \fracdfrac{1}{|P|}</tex><tex> = </tex><tex dpi = "180"> \fracdfrac{1}{|P|}</tex><tex>\sum\limits_{1}^{|P|}{1} = 1.</texmath> Следовательно:
<texmath>|G|\sum\limits_{P\in C}\sum\limits_{x\in P}</tex><tex dpi = "180"> \fracdfrac{1}{|P|}</tex><tex> = |G|\sum\limits_{P\in C} 1</texmath>.
Очевидно, что <texmath>\sum\limits_{P\in C} 1 = \sum\limits_{1}^{|C|}{1} = |C|.</texmath> Тогда получим:
<texmath>|G|\sum\limits_{P\in C} 1 = |C|\cdot|G|.</texmath>
Откуда следует, что
<texmath>\sum\limits_{g \in G}|St(g)| = |C|\cdot|G|.</texmath> ч.т.д.
}}
|id=teorPo.
|author=Пойа, '''англ.''' Pólya enumeration theorem
|statement= <texmath> C =</tex> <tex> \dfrac{1} {|G|}</tex><tex>\sum\limits_{g \in G} l^{P(g)}</texmath> ,где <tex>C</tex> {{---}} кол-во различных классов эквивалентности, <tex>P(g)</tex> {{---}} кол-во циклов в перестановке <tex>g</tex>, <tex>l</tex> {{---}} кол-во различных состояний одного элемента.
|proof=Для доказательства этой теоремы достаточно установить следующее равенство
<texmath>|St(g)| = l^{P(g)}</texmath>
Рассмотрим некоторую перестановку <tex>g</tex> и некоторый элемент <tex>f</tex>. Под действием перестановки <tex>g</tex> элементы <tex>f</tex> передвигаются, как известно, по циклам перестановки. Заметим, что так как в результате должно получаться <tex>fg = f</tex>, то внутри каждого цикла перестановки должны находиться одинаковые элементы <tex>f</tex>. В то же время, для разных циклов никакой связи между значениями элементов не возникает. Таким образом, для каждого цикла перестановки <tex>g</tex> мы выбираем по одному значению, и, тем самым, мы получим все представления <tex>f</tex>, инвариантные относительно этой перестановки, т.е.:
<texmath>|St(g)| = l^{P(g)}</texmath>
}}
Данное множество фактов объясняется тем, что мы можем как бы "слить" вместе два столбика (и\или) столбца, при этом с точностью до нужного действия количество раскрасок не уменьшится.
Количество неподвижных точек в случае с действием <tex>e</tex> равно <tex>k^{nm}</tex>, так как ни одна раскрашенная клетка не повторилась при действии нулевого действия. Для действий <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> количество раскрасок будет <tex>k^{\lceil \fracdfrac{m}{2} \rceil n}</tex> и <tex>k^{{\lceil {\fracdfrac{n}{2}} \rceil}m}</tex> соответственно, для их композиции количество раскрасок <tex>k^{{\lceil {\dfrac{nm}{2}} \rceil}}</tex>, так как верхняя левая четверть прямоугольника однозначно задаёт правую нижнюю, аналогично с правой верхней.
Тогда воспользуемся Леммой Бёрнсайда и определим количество таких раскрасок.
:<tex> |C| = \dfrac{1} {|G|} \sum\limits_{g \in G}|St(g)| = \dfrac{I_1 + I_2 + I_3 + I_4}{4} = \dfrac{k^{nm}+k^{\lceil \fracdfrac{m}{2} \rceil n} + k^{{\lceil {\fracdfrac{n}{2}} \rceil}m} + k^{{\lceil {\fracdfrac{nnm}{2}} \rceil}}}{4}</tex> ==Задача о числе раскрасок граней куба=={{Задача|definition=Выведите формулу для числа раскрасок граней куба в <tex>k</tex> цветов с точностью до поворота.}}Как и в предыдущей задаче, будем использовать в решении лемму Бёрнсайда. '''Решение''' Рассмотрим группу вращений куба <tex>G</tex>: ''Последующие изображения с развертками будут подразумевать такое же соответствие вершин, как на рисунке ниже. На развертках будем показывать раскраски, а на самом кубе ребро, через которое мы будем вращать его. Цвета на развертке лишь показывают то, что грани с одинаковым цветом должны быть одинаково раскрашены.''[[Файл:burnside-intro.png|top]]* <tex>1</tex> Тождественное вращение. Поскольку ничего не происходит, мы можем покрасить каждую грань в любой цвет <tex>\lceil Rightarrow k^6 </tex> раскрасок.[[Файл:burnside-1.png|top]]* <tex>4</tex> вращения на угол <tex>120^{\circ}</tex> и <tex>4</tex> вращения на угол <tex>240^{\circ}</tex> вдоль главных диагоналей куба (вращений четыре, поскольку главных диагоналей <tex>4</tex> шт.). При вращении, если одна грань переходит в другую, мы должны покрасить их в один цвет. Такие раскраски будут являться стабилизатором данного вращения. Из рисунка видно, что мы можем покрасить наш куб в <tex>k^2</tex> цветов (в <tex>k</tex> цветов одни три грани и в <tex>k</tex> цветов другие три грани).[[Файл:burnside-2.png|top]]* <tex>6</tex> вращений на угол <tex>180^{\circ}</tex> вдоль осей, соединяющих середины противоположных ребер <tex>\Rightarrow k^3 </tex> раскрасок.[[Файл:burnside-3.png|top]]* <tex>3</tex> вращения на угол <tex>90^{\fraccirc}</tex> и <tex>3</tex> вращения на угол <tex>270^{m\circ}</tex> вдоль осей, соединяющих центры противоположных граней <tex>\Rightarrow k^3 </tex> раскрасок.[[Файл:burnside-4.png|top]]* <tex>3</tex> вращения на угол <tex>180^{2\circ} </tex> вдоль осей, соединяющих центры противоположных граней <tex>\rceilRightarrow k^4 </tex> раскрасок.[[Файл:burnside-5.png|top]] Итого <tex>1+(4+4)+6+(3+3)+3=24</tex> поворота, при которых куб переходит в себя. Других различных поворотов, которые переводят куб в себя, не существует, поскольку ''группа вращений'' [https://en.wikipedia.org/wiki/Octahedral_symmetry <tex>G</tex> изоморфна ''симметрической группе'' <tex>S_4</tex>], тогда из того, что <tex>|S_4|=24</tex> следует, что мы указали все преобразования, которые переводят куб в себя, причем различным образом. Теперь с помощью Леммы Бёрнсайда найдем искомый ответ: :<tex> |C| = \dfrac{1} {|G|}\sum\limits_{g \in G}|St(g)| = \dfrac{1}{24} (k^6 + 8k^2 + 6k^3 + 6k^3 + 3k^4) = \dfrac{1} {24}(k^6 + 3k^4 + 12k^3 + 8k^2)</tex>
==См. также==
* [[Теорема Кэли|Теорема Кэли]]
* [[Задача об ожерельях|Задача об Ожерельяхожерельях]]
==Источники информации==
