Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа

Иногда требуется провести подсчет комбинаторных объектов с точностью до некоторого отношения эквивалетности. Если это отношение является отношением "с точностью до действия элементом группы", то такой подсчет можно провести с помощью Леммы Бернсайда.

Определение:

Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Неподвижной точкой для элемента [math]g[/math] называется такой элемент [math]x[/math], для которого [math]gx=x[/math].

Лемма Бёрнсайда

Лемма (Бёрнсайд):

Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Будем называть два элемента [math]x[/math] и [math]y[/math] эквивалентными, если [math]x = gy[/math] для некоторого [math]g \in G[/math]. Тогда число классов эквивалентности равно сумме числа неподвижных точек по всем элементам группы [math]G[/math], делённой на размер этой группы: [math] C = [/math] [math]\frac{1} {|G|}[/math][math]\sum\limits_{k \in G}I(k)[/math]. Где [math]I(k)[/math] — количество неподвижных точек для элемента [math]k[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим сумму в числителе дроби справа: [math]\sum\limits_{k \in G}I(k)[/math] — это ничто иное как количество "инвариантных пар". Определение: Пара элементов инвариантна, если они оба принадлежат к одному классу эквивалентности. Очевидно, что в формуле мы имеем право изменить порядок суммирования - сделать внешнюю сумму по элементам множества [math]f[/math], а внутри нее поставить величину [math]J(f)[/math] — количество перестановок, относительно которых объект [math]f[/math] инвариантен: [math]C =[/math] [math] \frac{1} {|G|}[/math][math]\sum\limits_{f} J(f)[/math] Для доказательства этой формулы составим таблицу, столбцы которой будут подписаны всеми значениями [math]f_i[/math], строки — всеми перестановками [math]k_j[/math], а в клетках таблицы будут стоять их произведения. Тогда, если мы будем рассматривать столбцы этой таблицы как множества, то некоторые из них могут совпасть, и это будет означать, что соответствующие этим столбцам [math]f[/math] также эквивалентны. Таким образом, количество различных как множество столбцов равно количеству классов эквивалентности. Столбцы таблицы сами распадаются на классы эквивалентности; зафиксируем теперь какой-либо класс и рассмотрим столбцы в нём. Во-первых, заметим, что в этих столбцах могут стоять только элементы [math]f_i[/math] одного класса (иначе получилось бы, что некоторым эквивалентным преобразованием мы перешли в другой класс эквивалентности, что невозможно). Во-вторых, каждый элемент [math]f_i[/math] будет встречаться одинаковое число раз во всех столбцах (это также следует из того, что столбцы соответствуют эквивалентным элементам). Отсюда можно сделать вывод, что все столбцы внутри одного класса эквивалентности совпадают друг с другом как мультимножества. Теперь зафиксируем произвольный элемент [math]f[/math]. С одной стороны, он встречается в своём столбце ровно [math]J(f)[/math] раз (по самому определению). С другой стороны, все столбцы внутри одного класса эквивалентности одинаковы как мультимножества. Следовательно, внутри каждого столбца данного класса эквивалентности любой элемент [math]g[/math] встречается ровно [math]J(g)[/math] раз. Таким образом, если мы возьмём произвольным образом от каждого класса эквивалентности по одному столбцу и просуммируем количество элементов в них, то получим, с одной стороны, [math]C|G|[/math] (это получается, просто умножив количество столбцов на их размер), а с другой стороны — сумму величин [math]J(f)[/math] по всем [math]f[/math](это следует из всех предыдущих рассуждений): [math] C =[/math] [math] \frac{1} {|G|}[/math][math]\sum\limits_{f} J(f)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Пойа

В основе доказательства теоремы Пойа лежит лемма Бёрнсайда.

Теорема (Пойа):

[math] C =[/math] [math] \frac{1} {|G|}[/math][math]\sum\limits_{k \in G} l^{P(k)}[/math] ,где [math]C[/math] — кол-во различных классов эквивалентности, [math]P(k)[/math] - кол-во циклов в перестановке [math]k[/math], [math]l[/math] — кол-во различных состояний одного элемента.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства этой теорем достаточно установить следующее равенство [math]I(k) = l^{P(k)}[/math] Рассмотрим некоторую перестановку [math]k[/math] и некоторый элемент [math]f[/math]. Под действием перестановки [math]k[/math] элементы [math]f[/math] передвигаются, как известно, по циклам перестановки. Заметим, что внутри каждого цикла перестановки должны находиться одинаковые элементы [math]f[/math]. В то же время, для разных циклов никакой связи между значениями элементов не возникает. Таким образом, для каждого цикла перестановки [math]k[/math] мы выбираем по одному значению, и, тем самым, мы получим все представления [math]f[/math], инвариантные относительно этой перестановки, т.е.: [math]I(k) = l^{P(k)}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Теорема Кэли
• Задача об Ожерельях

Cсылки

• Лемма Бёрнсайда
• Теорема Пойа