Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Лемма Огдена

6146 байт добавлено, 16:17, 2 апреля 2018
Источники информации
Для бесконечного языка применение приведённых в предыдущем разделе приёмов приведёт к началу построения в общем случае бесконечного числа правил грамматики. Требуется более мощный аппарат, которым служит доказываемая ниже лемма Огдена.
 
== Лемма ==
{{Лемма
|statement=
# либо <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, либо <tex>y</tex> и <tex>z</tex> обе содержат выделенные позиции;
# <tex>vxy</tex> содержат не более <tex>n</tex> выделенных позиций;
# существует <tex>A \in N</tex>, такой что <tex>S \Rightarrow^{+} uAz \Rightarrow^{+} uvAyz \Rightarrow^{+} uvxyz</tex>. (т.е. <tex>\forall k \geqslant 0~uv^{k}xy^{k}z\in L</tex>)|proof=Введем следующие обозначения: <tex>m = |N|</tex> и <tex>l</tex> — длина самой длинной правой части правила из <tex>P</tex>. Тогда в качестве <tex>n</tex> возьмем <tex>l^{2m + 3}</tex>. Рассмотрим дерево разбора <tex>T</tex> для произвольного слова <tex>\omega \in L(\Gamma)</tex>, у которого <tex>|\omega| \geqslant n</tex>. В силу выбора <tex>n</tex> в <tex>T</tex> будет по крайне мере один путь от корня до листа длины не менее <tex>2m + 3</tex>. Произвольным образом выделим в <tex>\omega</tex> не менее <tex>n</tex> позиций. Соответствующие этим позициям листья дерева <tex>T</tex> будем называть выделенными. Пусть <tex>v_1</tex> — корень <tex>T</tex>, а <tex>v_{i + 1}</tex> — сын <tex>v_i</tex>, который имеет среди своих потомков наибольшее число выделенных листьев (если таких несколько, то <tex>v_{i + 1}</tex> самый правый из них). Рассмотрим <tex>v_1, v_2, \ldots, v_p</tex> {{---}} путь от корня до листа.  Будем называть ветвящейся ту вершину, у которой по крайне мере два сына имеют выделенных потомков. Докажем по индукции, что если среди <tex>v_1, v_2, \ldots, v_i</tex> вершин есть <tex>k</tex> ветвящихся, то <tex>v_{i + 1}</tex> имеет хотя бы <tex>l^{2m + 3 - k}</tex> выделенных потомков. <br>База индукции: <tex>i = 0</tex>. Тогда <tex>k = 0</tex> и <tex>v_1</tex> имеет по крайне мере <tex>n</tex> выделенных потомков, поскольку является корнем. <br>Индукционный переход. Если <tex>v_i</tex> не является ветвящейся вершиной, то <tex>v_{i + 1}</tex> имеет такое же число ветвящихся потомков, как и <tex>v_i</tex>. Если <tex>v_i</tex> — ветвящаяся вершина, то <tex>v_{i + 1}</tex> имеет не более чем в <tex>l</tex> раз меньшее число выделенных потомков. Поскольку <tex>v_1</tex> имеет хотя бы <tex>n = l^{2m + 3}</tex> выделенных потомков, то <tex>v_1, v_2, \ldots, v_p</tex> содержит по крайне мере <tex>2m + 3</tex> ветвящиеся вершин. Заметим, что <tex>v_p</tex> {{---}} лист, поэтому <tex>p > 2m + 3</tex>. [[Файл:derivation_tree_T.png|240px|thumb|left|Дерево вывода <tex>T</tex>]]Будем называть <tex>v_i</tex> левой ветвящейся вершиной, если ее сын, не принадлежащий пути <tex>v_1, v_2, \ldots, v_p</tex>, имеет выделенного потомка, лежащего слева от <tex>v_p</tex>. В противном случае назовем <tex>v_i</tex> правой ветвящейся вершиной. Рассмотрим последние <tex>2m + 3</tex> вершины, принадлежащие пути <tex>v_1, v_2, \ldots, v_p</tex>. Предположим, что хотя бы <tex>m + 2</tex> вершины {{---}} левые ветвящиеся (случай, когда хотя бы <tex>m + 2</tex> вершины {{---}} правые ветвящиеся, разбирается аналогично). Пусть <tex>u_1, u_2, \ldots, u_{m + 2}</tex> {{---}} последние <tex>m + 2</tex> левые ветвящиеся вершины. Поскольку <tex>m = |N|</tex>, то среди них можно найти как минимум две вершины, соответствующие одному нетерминалу. Обозначим эти вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex>, причем <tex>b</tex> {{---}} потомок <tex>a</tex>. Тогда на рисунке показано, как представить <tex>\omega</tex> в требуемом виде.  Условие <tex>(1)</tex> выполнено, поскольку <tex>x</tex> содержит выделенную вершину, а именно <tex>v_p</tex>. Очевидно, что условие <tex>(4)</tex> выполнено в силу предложенного разбиения <tex>\omega</tex>. Кроме того, <tex>u</tex> содержит выделенную вершину, а именно потомка некоторого сына вершины <tex>u_1</tex>. Аналогично, выделенный потомок некоторого сына вершины <tex>a</tex> содержится в <tex>v</tex>. Таким образом, условие <tex>(2)</tex> выполнено. Поскольку между <tex>v_p</tex> и <tex>a</tex> не более <tex>2m + 3</tex> вершин, вершина <tex>a</tex> имеет не более <tex>n</tex> выделенных потомков, поэтому условие <tex>(3)</tex> выполнено.}} == Примеры не КС-языка, для которого выполняется лемма ==Следует обратить особое внимание на то, что лемма содержит лишь необходимые условия принадлежности КС языку.===Пример <tex> 1 </tex>==={{Утверждение|statement=Можно построить такой язык, для которого будет выполняться лемма Огдена, однако язык не будет контекстно-свободным.
|proof=
Введем следующие обозначения: <tex>m = |N|</tex> и <tex>l</tex> — длина самой длинной правой части правила из При анализе этого языка следует использовать алгебраические свойства множества. Выберем <tex>P</tex>. Тогда в качестве <tex>n</tex> возьмем <tex>l^{2m + 3{---}</tex>. Рассмотрим дерево разбора } подмножество <tex>TN</tex> для произвольного слова <tex>\omega \in L(\Gamma)</tex>, у которого <tex>|\omega| \ge n</tex>. В силу выбора <tex>n</tex> в <tex>T</tex> будет по крайне мере один путь от корня до листа длины не менее <tex>2m + 3</tex>. Произвольным образом выделим в <tex>\omega</tex> не менее <tex>n</tex> позиций. Соответствующие этим позициям листья дерева <tex>T</tex> будем называть выделенными.и
Пусть <tex>v_1</tex> — корень <tex>T</tex>, а <tex>v_A_{i + 1p}</tex> — сын <tex>v_i</tex>, который имеет среди своих потомков наибольшее число выделенных листьев = \{ (если таких несколько, то <tex>v_{i + 1ab)^n \mid P \in N \}</tex> самый правый из них). Рассмотрим <tex>v_1, v_2, ..., v_p</tex> — путь от корня до листа.
Будем называть ветвящейся ту вершину, у которой по крайне мере два сына имеют выделенных потомков. Докажем по индукции, что если среди <tex>v_1, v_2, ..., v_i</tex> вершин есть <tex>k</tex> ветвящихся, то <tex>v_B_{i + 1p}</tex> имеет хотя бы <tex>l^= A_{2m + 3 - kp}</tex> выделенных потомков. <br>База индукции: <tex>i = 0</tex>. Тогда <tex>k = 0</tex> и <tex>v_1</tex> имеет по крайне мере <tex>n</tex> выделенных потомков, поскольку является корнем. <br>Индукционный переход. Если <tex>v_i</tex> не является ветвящейся вершиной, то <tex>v_\cup X^* \{i + 1}</tex> имеет такое же число ветвящихся потомков, как и <tex>v_i</tex>. Если <tex>v_i</tex> — ветвящаяся вершинаaa, то <tex>v_{i + 1bb\}X^*</tex> имеет не более чем в <tex>l</tex> раз меньшее число выделенных потомков.
Поскольку Языки над <tex>v_1</tex> имеет хотя бы <tex>n X= l^\{2m + 3a, b\}</tex> выделенных потомков, то <tex>v_1, v_2, ..., v_p</tex> содержит по крайне мере <tex>2m + 3</tex> ветвящиеся вершин. Заметим, что <tex>v_p</tex> — лист, поэтому <tex>p > 2m + 3</tex>.
[[Файл:derivation_tree_T.png|240px|thumb|left|Дерево вывода <tex>T</tex>]]Будем называть <tex>v_i</tex> левой ветвящейся вершиной, если ее сын, не принадлежащий пути <tex>v_1, v_2, ..., v_p</tex>, имеет выделенного потомка, лежащего слева от <tex>v_p</tex>. В противном случае назовем <tex>v_i</tex> правой ветвящейся вершиной. Рассмотрим последние <tex>2m + 3</tex> вершины, принадлежащие пути <tex>v_1, v_2, ..., v_p</tex>. ПредположимОчевидно, что хотя бы <tex>m + 2</tex> вершины B_{{---}p} левые ветвящиеся (случай, когда хотя бы <tex>m + 2</tex> вершины {{---}} правые ветвящиесяКС, разбирается аналогично). Пусть если <tex>u_1, u_2, ..., u_A_{m + 2p}</tex> — последние <tex>m + 2</tex> левые ветвящиеся вершиныконтекстно-свободен. Поскольку <tex>m = |N|B_{p}</tex>является рекурсивно-перечислимым, то среди них можно найти как минимум две вершины, соответствующие одному нетерминалу. Обозначим эти вершины <tex>a</tex> если и <tex>b</tex>, причем <tex>b</tex> A_{{---p}} потомок <tex>a</tex>. Тогда на рисунке показано, как представить <tex>\omega</tex> в требуемом видеим является.
Для <tex>B_{p}</tex> будет выполняться лемма Огдена при <tex>n = 4</tex>. Выбрав <tex>A_{p}</tex> таким образом, чтобы он был рекурсивно-перечислимым, мы создадим язык для которого будет выполняться лемма Огдена, однако язык не будет контекстно-свободным. (Такие языки существуют)<ref>A.V. Aho & J.D. Ullman, The Theory of Parsing, Translation and Compilimg, Vol. I, 1972</ref>
}}
Условие (1) выполнено, поскольку === Пример <tex> 2 </tex> ==={{Утверждение|statement=Язык <tex>xL = {a^mb^nc^l}</tex> содержит выделенную вершину, а именно где <tex>v_pm, n, l </tex>{{---}} попарно различны, не является КС-языком. Очевидно|proof= Предположим, что условие данный язык контекстно-свободный. Возьмем цепочку <tex>\omega = a^kb^{k+(4k-1) выполнено !} c^{k+k!}</tex>, где <tex>k</tex> {{---}} константа из леммы Огдена, выделив в силу предложенного разбиения ней все вхождения символа <tex>a</tex>. Тогда при представлении цепочки <tex>\omega</tex> в виде <tex>uvxyz</tex> цепочка <tex>x</tex> (по условию (1) леммы) обязательно «зацепит» хотя бы одинсимвол <tex>a</tex>. Кроме тогоCледовательно, цепочка <tex>v</tex> состоит только из символов <tex>a</tex> (как и цепочка <tex>u</tex> содержит выделенную вершину). А именно,<tex>v = \alpha^p</tex>, а именно потомка некоторого сына вершины <tex>u_11 \leqslant p \leqslant k+1</tex>. Аналогично Тогда, выделенный потомок некоторого сына вершины если цепочка <tex>x</tex> содержит и другие символы, кроме <tex>a</tex> содержится , цепочка <tex>y</tex> может входить либо в «зону» символов <tex>vb</tex>. Таким образом(целиком), условие либо в «зону» символов <tex>c</tex> (2целиком) выполнено, так как расположение накачиваемых цепочек на стыках зон, очевидно, невозможно. Поскольку между В первом случае «кратность» <tex>v_p\alpha</tex> накачки цепочки <tex>v</tex>, которая уравняет числа символов <tex>a</tex> и <tex>c</tex>, определяется из соотношения:<tex>k + \alpha \cdot p = k + k!</tex>, то есть <tex>\alpha = \dfrac{k!}{p} </tex> Во втором случае <tex>\dfrac {k-1!}{p}</tex> - кратная накачка цепочки <tex>v</tex> уравняет числа вхождений символов <tex>a</tex> не более и <tex>b</tex>.Не исключено, наконец, что обе накачиваемые цепочки расположены в «зоне» символов <tex>a</tex>. Но тогда одним из указанных выше способов накачки можно уравнять числа либо символов <tex>a</tex> и <tex>2m + 3b</tex> вершин, вершина либо <tex>a</tex> имеет не более и <tex>c</tex>. [[Файл:Ogden1.png|left|Рис. Цепочки контекстно-свободного языка]]  Заметим, что возможность выделения символов существенно упрощает анализ данного языка, так как позволяет считать, что цепочка <tex>nv</tex> выделенных потомковможет расположиться единственным способом. Иначе, т.е. при использовании леммы о разрастании для кс-языков, решение задачи было бы, по меньшей мере, поэтому условие (3) выполненосильно затруднено.
}}
== См. также ==
*[[Лемма_о_разрастании_для_КС-грамматик|Лемма о разрастании для КС-грамматик]] ==Примечания== <references />
== Источники информации ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемма_Огдена Wikipedia {{---}} Лемма Огдена]* ''Hopcroft, Motwani and Ullman '' {{---}} Automata Theory, Languages, and Computation {{---}} Addison-Wesley, 1979. ISBN 81-7808-347-7.* ''Ogden, W.'' (1968). A helpful result for proving inherent ambiguity. Mathematical Systems Theory. 2 (3): 191–194.* [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ITA/ITA_1978__12_3/ITA_1978__12_3_201_0/ITA_1978__12_3_201_0.pdf On languages satisfying Ogden's lemma]* [http://ccf.ee.ntu.edu.tw/~yen/courses/toc14/chapter-2a.pdf Ogden's lemma]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
[[Категория: Опровержение контекстно-свободности языка]]
200
правок

Навигация