Лемма Огдена — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Пример 1)
(Источники информации)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 2 участников)
Строка 21: Строка 21:
  
  
Условие (1) выполнено, поскольку <tex>x</tex> содержит выделенную вершину, а именно <tex>v_p</tex>. Очевидно, что условие (4) выполнено в силу предложенного разбиения <tex>\omega</tex>. Кроме того, <tex>u</tex> содержит выделенную вершину, а именно потомка некоторого сына вершины <tex>u_1</tex>. Аналогично, выделенный потомок некоторого сына вершины <tex>a</tex> содержится в <tex>v</tex>. Таким образом, условие (2) выполнено. Поскольку между <tex>v_p</tex> и <tex>a</tex> не более <tex>2m + 3</tex> вершин, вершина <tex>a</tex> имеет не более <tex>n</tex> выделенных потомков, поэтому условие (3) выполнено.
+
Условие <tex>(1)</tex> выполнено, поскольку <tex>x</tex> содержит выделенную вершину, а именно <tex>v_p</tex>. Очевидно, что условие <tex>(4)</tex> выполнено в силу предложенного разбиения <tex>\omega</tex>. Кроме того, <tex>u</tex> содержит выделенную вершину, а именно потомка некоторого сына вершины <tex>u_1</tex>. Аналогично, выделенный потомок некоторого сына вершины <tex>a</tex> содержится в <tex>v</tex>. Таким образом, условие <tex>(2)</tex> выполнено. Поскольку между <tex>v_p</tex> и <tex>a</tex> не более <tex>2m + 3</tex> вершин, вершина <tex>a</tex> имеет не более <tex>n</tex> выделенных потомков, поэтому условие <tex>(3)</tex> выполнено.
 
}}
 
}}
  
 
== Примеры не КС-языка, для которого выполняется лемма ==
 
== Примеры не КС-языка, для которого выполняется лемма ==
 
Следует обратить особое внимание на то,  что лемма содержит лишь необходимые условия принадлежности КС языку.
 
Следует обратить особое внимание на то,  что лемма содержит лишь необходимые условия принадлежности КС языку.
===Пример <tex>1</tex>===
+
===Пример <tex> 1 </tex>===
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Можно построить такой язык, для которого будет выполняться лемма Огдена, однако язык не будет контекстно-свободным.  
 
|statement=Можно построить такой язык, для которого будет выполняться лемма Огдена, однако язык не будет контекстно-свободным.  
Строка 43: Строка 43:
 
  }}
 
  }}
  
=== Пример 2 ===
+
=== Пример <tex> 2 </tex> ===
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Язык <tex>L = {a^mb^nc^l}</tex>,  где <tex> m, n, l </tex> {{---}} попарно различны, не является КС-языком.
 
|statement=Язык <tex>L = {a^mb^nc^l}</tex>,  где <tex> m, n, l </tex> {{---}} попарно различны, не является КС-языком.
Строка 72: Строка 72:
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
  
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемма_Огдена Лемма Огдена]
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемма_Огдена Wikipedia {{---}} Лемма Огдена]
*Hopcroft, Motwani and Ullman  {{---}} Automata Theory, Languages, and Computation {{---}} Addison-Wesley, 1979. ISBN 81-7808-347-7.
+
* ''Hopcroft, Motwani and Ullman'' {{---}} Automata Theory, Languages, and Computation {{---}} Addison-Wesley, 1979. ISBN 81-7808-347-7.
*Ogden, W. (1968). "A helpful result for proving inherent ambiguity". Mathematical Systems Theory. 2 (3): 191–194.
+
* ''Ogden, W.'' (1968). A helpful result for proving inherent ambiguity. Mathematical Systems Theory. 2 (3): 191–194.
*[http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ITA/ITA_1978__12_3/ITA_1978__12_3_201_0/ITA_1978__12_3_201_0.pdf On languages satisfying Ogden's lemma]
+
* [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ITA/ITA_1978__12_3/ITA_1978__12_3_201_0/ITA_1978__12_3_201_0.pdf On languages satisfying Ogden's lemma]
*[http://ccf.ee.ntu.edu.tw/~yen/courses/toc14/chapter-2a.pdf Ogden's lemma]
+
* [http://ccf.ee.ntu.edu.tw/~yen/courses/toc14/chapter-2a.pdf Ogden's lemma]
  
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 
[[Категория: Опровержение контекстно-свободности языка]]
 
[[Категория: Опровержение контекстно-свободности языка]]

Текущая версия на 16:17, 2 апреля 2018

Для бесконечного языка применение приведённых в предыдущем разделе приёмов приведёт к началу построения в общем случае бесконечного числа правил грамматики. Требуется более мощный аппарат, которым служит доказываемая ниже лемма Огдена.

Лемма[править]

Лемма:
Для каждой контекстно-свободной грамматики [math]\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset N\times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle[/math] существует такое [math]n[/math], что для любого слова [math]\omega \in L(\Gamma)[/math] длины не менее [math]n[/math] и для любых выделенных в [math]\omega[/math] не менее [math]n[/math] позиций, [math]\omega[/math] может быть представлено в виде [math]\omega=uvxyz[/math], причем:
  1. [math]x[/math] содержит выделенную позицию;
  2. либо [math]u[/math] и [math]v[/math], либо [math]y[/math] и [math]z[/math] обе содержат выделенные позиции;
  3. [math]vxy[/math] содержат не более [math]n[/math] выделенных позиций;
  4. существует [math]A \in N[/math], такой что [math]S \Rightarrow^{+} uAz \Rightarrow^{+} uvAyz \Rightarrow^{+} uvxyz[/math]. (т.е. [math]\forall k \geqslant 0~uv^{k}xy^{k}z\in L[/math])
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Введем следующие обозначения: [math]m = |N|[/math] и [math]l[/math] — длина самой длинной правой части правила из [math]P[/math]. Тогда в качестве [math]n[/math] возьмем [math]l^{2m + 3}[/math]. Рассмотрим дерево разбора [math]T[/math] для произвольного слова [math]\omega \in L(\Gamma)[/math], у которого [math]|\omega| \geqslant n[/math]. В силу выбора [math]n[/math] в [math]T[/math] будет по крайне мере один путь от корня до листа длины не менее [math]2m + 3[/math]. Произвольным образом выделим в [math]\omega[/math] не менее [math]n[/math] позиций. Соответствующие этим позициям листья дерева [math]T[/math] будем называть выделенными.

Пусть [math]v_1[/math] — корень [math]T[/math], а [math]v_{i + 1}[/math] — сын [math]v_i[/math], который имеет среди своих потомков наибольшее число выделенных листьев (если таких несколько, то [math]v_{i + 1}[/math] самый правый из них). Рассмотрим [math]v_1, v_2, \ldots, v_p[/math] — путь от корня до листа.

Будем называть ветвящейся ту вершину, у которой по крайне мере два сына имеют выделенных потомков. Докажем по индукции, что если среди [math]v_1, v_2, \ldots, v_i[/math] вершин есть [math]k[/math] ветвящихся, то [math]v_{i + 1}[/math] имеет хотя бы [math]l^{2m + 3 - k}[/math] выделенных потомков.
База индукции: [math]i = 0[/math]. Тогда [math]k = 0[/math] и [math]v_1[/math] имеет по крайне мере [math]n[/math] выделенных потомков, поскольку является корнем.
Индукционный переход. Если [math]v_i[/math] не является ветвящейся вершиной, то [math]v_{i + 1}[/math] имеет такое же число ветвящихся потомков, как и [math]v_i[/math]. Если [math]v_i[/math] — ветвящаяся вершина, то [math]v_{i + 1}[/math] имеет не более чем в [math]l[/math] раз меньшее число выделенных потомков.

Поскольку [math]v_1[/math] имеет хотя бы [math]n = l^{2m + 3}[/math] выделенных потомков, то [math]v_1, v_2, \ldots, v_p[/math] содержит по крайне мере [math]2m + 3[/math] ветвящиеся вершин. Заметим, что [math]v_p[/math] — лист, поэтому [math]p \gt 2m + 3[/math].

Дерево вывода [math]T[/math]
Будем называть [math]v_i[/math] левой ветвящейся вершиной, если ее сын, не принадлежащий пути [math]v_1, v_2, \ldots, v_p[/math], имеет выделенного потомка, лежащего слева от [math]v_p[/math]. В противном случае назовем [math]v_i[/math] правой ветвящейся вершиной. Рассмотрим последние [math]2m + 3[/math] вершины, принадлежащие пути [math]v_1, v_2, \ldots, v_p[/math]. Предположим, что хотя бы [math]m + 2[/math] вершины — левые ветвящиеся (случай, когда хотя бы [math]m + 2[/math] вершины — правые ветвящиеся, разбирается аналогично). Пусть [math]u_1, u_2, \ldots, u_{m + 2}[/math] — последние [math]m + 2[/math] левые ветвящиеся вершины. Поскольку [math]m = |N|[/math], то среди них можно найти как минимум две вершины, соответствующие одному нетерминалу. Обозначим эти вершины [math]a[/math] и [math]b[/math], причем [math]b[/math] — потомок [math]a[/math]. Тогда на рисунке показано, как представить [math]\omega[/math] в требуемом виде.


Условие [math](1)[/math] выполнено, поскольку [math]x[/math] содержит выделенную вершину, а именно [math]v_p[/math]. Очевидно, что условие [math](4)[/math] выполнено в силу предложенного разбиения [math]\omega[/math]. Кроме того, [math]u[/math] содержит выделенную вершину, а именно потомка некоторого сына вершины [math]u_1[/math]. Аналогично, выделенный потомок некоторого сына вершины [math]a[/math] содержится в [math]v[/math]. Таким образом, условие [math](2)[/math] выполнено. Поскольку между [math]v_p[/math] и [math]a[/math] не более [math]2m + 3[/math] вершин, вершина [math]a[/math] имеет не более [math]n[/math] выделенных потомков, поэтому условие [math](3)[/math] выполнено.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры не КС-языка, для которого выполняется лемма[править]

Следует обратить особое внимание на то, что лемма содержит лишь необходимые условия принадлежности КС языку.

Пример [math] 1 [/math][править]

Утверждение:
Можно построить такой язык, для которого будет выполняться лемма Огдена, однако язык не будет контекстно-свободным.
[math]\triangleright[/math]

При анализе этого языка следует использовать алгебраические свойства множества. Выберем [math]P[/math] — подмножество [math]N[/math] и

[math]A_{p} = \{ (ab)^n \mid P \in N \} [/math]

[math]B_{p} = A_{p} \cup X^* \{aa, bb\}X^*[/math]

Языки над [math]X=\{a, b\}[/math].

Очевидно, что [math]B_{p}[/math] — КС, если [math]A_{p}[/math] контекстно-свободен. [math]B_{p}[/math] является рекурсивно-перечислимым, если и [math]A_{p}[/math] им является.

Для [math]B_{p}[/math] будет выполняться лемма Огдена при [math]n = 4[/math]. Выбрав [math]A_{p}[/math] таким образом, чтобы он был рекурсивно-перечислимым, мы создадим язык для которого будет выполняться лемма Огдена, однако язык не будет контекстно-свободным. (Такие языки существуют)[1]
[math]\triangleleft[/math]

Пример [math] 2 [/math][править]

Утверждение:
Язык [math]L = {a^mb^nc^l}[/math], где [math] m, n, l [/math] — попарно различны, не является КС-языком.
[math]\triangleright[/math]

Предположим, что данный язык контекстно-свободный. Возьмем цепочку [math]\omega = a^kb^{k+(k-1)!} c^{k+k!}[/math], где [math]k[/math] — константа из леммы Огдена, выделив в ней все вхождения символа [math]a[/math]. Тогда при представлении цепочки [math]\omega[/math] в виде [math]uvxyz[/math] цепочка [math]x[/math] (по условию (1) леммы) обязательно «зацепит» хотя бы один символ [math]a[/math]. Cледовательно, цепочка [math]v[/math] состоит только из символов [math]a[/math] (как и цепочка [math]u[/math]). А именно, [math]v = \alpha^p[/math], [math]1 \leqslant p \leqslant k+1[/math].

Тогда, если цепочка [math]x[/math] содержит и другие символы, кроме [math]a[/math], цепочка [math]y[/math] может входить либо в «зону» символов [math]b[/math] (целиком), либо в «зону» символов [math]c[/math] (целиком), так как расположение накачиваемых цепочек на стыках зон, очевидно, невозможно. В первом случае «кратность» [math]\alpha[/math] накачки цепочки [math]v[/math], которая уравняет числа символов [math]a[/math] и [math]c[/math], определяется из соотношения: [math]k + \alpha \cdot p = k + k![/math], то есть [math]\alpha = \dfrac{k!}{p} [/math]

Во втором случае [math]\dfrac {k-1!}{p}[/math] - кратная накачка цепочки [math]v[/math] уравняет числа вхождений символов [math]a[/math] и [math]b[/math]. Не исключено, наконец, что обе накачиваемые цепочки расположены в «зоне» символов [math]a[/math]. Но тогда одним из указанных выше способов накачки можно уравнять числа либо символов [math]a[/math] и [math]b[/math], либо [math]a[/math] и [math]c[/math].

Рис. Цепочки контекстно-свободного языка
Заметим, что возможность выделения символов существенно упрощает анализ данного языка, так как позволяет считать, что цепочка [math]v[/math] может расположиться единственным способом. Иначе, т.е. при использовании леммы о разрастании для кс-языков, решение задачи было бы, по меньшей мере, сильно затруднено.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Примечания[править]

  1. A.V. Aho & J.D. Ullman, The Theory of Parsing, Translation and Compilimg, Vol. I, 1972

Источники информации[править]