304
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Риман-Лебег
|statement=
Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex> n \to \infty </tex> коэффициенты ряда Фурье <tex>a_n \to 0</tex>, <tex>b_n \to 0</tex>.
|proof=
<tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>.
Пусть <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex>, в пространстве <tex>L_1</tex>.
Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{mn-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то, по свойству тригонометрических функций, выполняется:
<tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1 \cos{nx}dx = 0</tex>.
<tex> = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.
Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1|\cdot |\cos nx| dx \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| dx = </tex>
<tex> = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>.
}}
Следует иметь в виду, что <tex>\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для <tex>2\pi</tex>-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт:
{{Лемма
Пусть <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}|f| < +\infty</tex>, тогда <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0</tex> при <tex>p \to \infty</tex>.
|proof=
На самом деле обе леммы равносильны.
# Первая получается из второй, если подставить <tex>f = 0</tex> вне отрезка <tex>Q</tex>.
# В обратную сторону: вне конечного отрезка функция стремится к нулютак как интеграл от модуля функции сходится, а на конечном то необходимо <tex> | \int\limits_{|x| > a} f(x) \cos(px) | \le \int\limits_{|x| > a} |f(x)| \xrightarrow[a \to \infty]{} 0 </tex>. На отрезке <tex> [-a; a] </tex> можно сжать интервал интегрирвания интегрирования в <tex> [-\pi; \pi] </tex>.
}}
Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>
|proof=
Для удобства записи, в силу <tex>2\pi</tex>-периодичности, сдвинем точку <tex>x</tex> в ноль.
<tex> S_n(f, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt </tex>.
<tex> \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x+t) \frac1{\sin \frac{t}2} (\cos \frac{t}2 \sin nt + \sin \frac{t}2 \cos nt) dt = </tex>
<tex> = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x +t) \mathrm{ctg } \frac{t}2 \sin t nt dt + \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x + t) \cos nt dt )</tex>.
Так как функции <tex> f(x+t) \mathrm{ctg } \frac{t} 2 </tex> и <tex> f(x+t) </tex> суммируемы на <tex> (-\pi; -\delta) </tex>, то, по только что доказанной лемме, оба интеграла стремятся к нулю при <tex> n \to \infty </tex>. Аналогично поступаем с тремя остальными частями разности.
}}
