Лемма о дедукции, полнота исчисления высказываний

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

<< >>

Теорема о дедукции[править]

Будем обозначать буквами [math]\Gamma, \Delta, \Sigma[/math] списки формул (возможно, пустые).


Определение:
Пусть [math]\Gamma[/math] - некоторый список высказываний, [math]\alpha[/math] - некоторое высказывание в исчислении [math]\langle L, A, R \rangle[/math]. Тогда будем говорить, что [math]\alpha[/math] выводится из [math]\Gamma[/math] (запись: [math]\Gamma \vdash \alpha[/math]), если существует доказательство [math]\alpha[/math] в исчислении [math]\langle L, A_1, R \rangle[/math], где [math]A_1[/math] - это [math]A[/math] с добавленными формулами из [math]\Gamma[/math]. Элементы [math]\Gamma[/math] называются допущениями, предположениями, или гипотезами.


Замечание: в этом определении появляются дополнительные предположения, поэтому речь идет именно о выводе, а не о доказательстве. Очевидно, что, если [math]\Gamma = \varnothing[/math], то [math]\Gamma \vdash \alpha[/math] соответствует [math]\vdash \alpha[/math].

Теорема:
Пусть справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмем [math]\delta_1, ..., \delta_m[/math] --- вывод формулы [math]\alpha \rightarrow \beta[/math]. В ней [math]\delta_m = \alpha \rightarrow \beta[/math]. Добавим [math]\delta_{m+1} = \alpha[/math] --- это добавленная аксиома, и [math]\delta_{m+2} = \beta[/math], получим вывод [math]\beta[/math] как М.Р. [math]\delta_m[/math] и [math]\delta_{m+1}[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
[math]\vdash \alpha \rightarrow \alpha[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. [math]\alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \alpha)[/math] (Сх. акс. 1)
  2. [math](\alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \alpha)) \rightarrow (\alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \alpha) \rightarrow \alpha)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \alpha)[/math] (Сх. акс. 2)
  3. [math](\alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \alpha) \rightarrow \alpha)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \alpha)[/math] (М.Р. 1, 2)
  4. [math](\alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \alpha) \rightarrow \alpha))[/math] (Сх. акс. 1)
  5. [math]\alpha \rightarrow \alpha[/math] (М.Р. 4, 3)
[math]\triangleleft[/math]


Теорема (о дедукции):
Пусть справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Имеется вывод [math]\delta_1, ..., \delta_{m-1}, \beta[/math]. Набросаем план вывода, формулы в нем занумеруем через 10 (Ну да, логика же):

[math](10)[/math] [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \delta_1[/math]

...

[math](10m - 10)[/math] [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \delta_{m-1}[/math]

[math](10m)[/math] [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math]

Дополним план до полноценного вывода. Рассмотрим формулу номер [math]i[/math]. Возможны следующие варианты:

  1. [math]\delta_i[/math] --- аксиома или предположение, входящее в [math]\Gamma[/math]. Тогда вставим перед этой формулой [math]\delta_i[/math] и [math]\delta_i \rightarrow (\alpha \rightarrow \delta_i)[/math], формула верна по M.P.
  2. [math]\delta_i = \alpha[/math]. Тогда вставляем перед формулой 4 формулы из леммы.
  3. [math]\delta_i[/math] выводится по M.P. из [math]\delta_j[/math] и [math]\delta_k[/math], где [math]j, k \lt i[/math]. Выведем [math]\alpha \rightarrow \delta_i[/math], добавив [math](\alpha \rightarrow \delta_j) \rightarrow ((\alpha \rightarrow (\delta_j \rightarrow \delta_i)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \delta_i))[/math] (сх. акс. 2) и [math](\alpha \rightarrow (\delta_j \rightarrow \delta_i)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \delta_i)[/math] (M.P. из [math]j[/math] и предыдущей)
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Высказывание [math]\alpha[/math] следует из высказываний [math]\Gamma[/math], если при любой оценке пропозициональных переменных, входящих в высказывания, на которых все высказывания из [math]\Gamma[/math] истинны, [math]\alpha[/math] также истинно. Запись: [math]\Gamma \models \alpha[/math].


Теорема о полноте исчисления высказываний[править]

Лемма:
Если [math]\Gamma \vdash \alpha[/math], то [math]\Gamma, \gamma \vdash \alpha[/math]. Если [math]\Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \alpha[/math], то [math]\Gamma_2, \Gamma_1 \vdash \alpha[/math]. Аналогично для следствия.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
КТО МОЖЕТ НАПИСАТЬ ЭТО ФОРМАЛЬНО?
[math]\triangleleft[/math]