Изменения

Пусть дан двудольный граф <tex>G(A) = \{ (x, y) [[Граф замен для двух матроидов| x \in A, y \notin A, A \setminus x \cup y \in I \}</tex> — граф замен]]. В его правой доле можно выделить два подмножества вершин <tex>X_1 = \{z \in S \setminus I | \mid I \cup z \in I_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I | \mid I \cup z \in I_2 \}</tex>. Пусть <tex>P</tex> - — кратчайший путь из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. Рассмотрим сужение <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex> на множество вершин, лежащих в пути <tex>P</tex>.<br>Тогда в <tex>G'</tex> существует единственное [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#Паросочетание в двудольном графе|полное паросочетание]].

[[Файл:Граф_индуцированный_кратчайшим_путем.png | thumb | left | рисРис. 1]][[Файл:Фрагмент_паросочетания.png‎ | thumb | right | Рис. 2]]Строго говоря , утверждение теоремы не совсем корректно, так как в правой доле полученного графа <tex>G'</tex> вершин на одну больше, чем в левой. Поэтому добавим в <tex>G'</tex> фиктивную вершину и отнесем ее к левой доле. Пусть путь <tex>P = (a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots , a_k, b_k)</tex>, где <tex>a_1</tex> - — фиктивная вершина (рис.1). [[Файл:Фрагмент_паросочетания.png‎ | thumb | right | рис. 2]]<br>Существование полного паросочетания очевидно - — это ребра <tex>(a_i,b_i)</tex>.<br>Предположим, что существует другое паросочетание <tex>(a_i, b_{jij_i})</tex>. Тогда пусть <tex>i_0 = \min \{ i \: | \mid \: j_i < i \}</tex>. Обозначим <tex>j_{i_0}</tex> как <tex>i_1</tex>. Заметим, что <tex>i_1 < i_0</tex> и поэтому не может быть <tex>j_{i_1} < i_1</tex>, ведь <tex>i_0</tex> - — минимальное из соответствующего множества. Так же невозможно <tex>j_{i_1} = i_1</tex>, поскольку тогда <tex>a_{i_0}</tex> и <tex>a_{i_1}</tex> имели бы одинаковую пару. Следовательно, <tex>j_{i_1} > i_1</tex> (рис.2). Это значит, что существует путь <tex>P_1 = (a_1, b_1, \ldots, a_{i_1}, b_{j_{i_1}}, a_{j_{i_1} + 1}, \ldots, a_k, b_k )</tex> короче, чем <tex>P</tex>. <br> Противоречие.