Лемма о рукопожатиях

Материал из Викиконспекты
Версия от 14:15, 9 декабря 2012; Gr1n (обсуждение | вклад) (Бесконечный граф)
Перейти к: навигация, поиск

Лемма о рукопожатиях

Неориентированный граф

Лемма:
Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа без петель) — четное число, равное удвоенному числу ребер:
[math] \sum\limits_{v\in V(G)} deg\ v=2 |E(G)|[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмем пустой граф. Сумма степеней вершин такого графа равна нулю. При добавлении ребра, связывающего любые две вершины, сумма всех степеней увеличивается на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин четна и равна удвоенному числу ребер.
[math]\triangleleft[/math]


Следствие 1 В любом графе число вершин нечетной степени четно

Следствие 2 Число ребер в полном графе [math]\frac{n(n-1)}{2} [/math]

Ориентированный граф

Лемма:
Сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа — четное число, равное удвоенному числу ребер:
[math]\sum\limits_{v\in V(G)} deg^{-}\ v \; + \sum\limits_{v\in V(G)} deg^{+}\ v=2 |E(G)| [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Аналогично доказательству леммы о рукопожатиях неориентированном графе.
[math]\triangleleft[/math]

Регулярный граф

В графе с [math] n [/math] вершинами, степени которых равны [math] k[/math] (регулярный граф), ровно [math]\frac{kn}{2} [/math] ребер.

Следствие Если степень каждой вершины нечетна и равна [math] k[/math], то количество ребер кратно [math] k [/math].

Бесконечный граф

Пример бесконечного графа, в котором не выполняется лемма

В бесконечном графе лемма не работает, поскольку, при выборе бесконечного пути из вершины [math] V [/math] (см. рисунок справа) имеем путь, в котором все вершины кроме стартовой имеют четную степень, что противоречит следствию из леммы.

Источники