Изменения

<tex>\mathrm{\#SAT}=\{\langle \varphi, k \rangle \bigm| \varphi</tex> имеет ровно <tex>k</tex> удовлетворяющих наборов <tex>\}</tex>.

|statement=<tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k \iff Leftrightarrow \langle\phi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.

|statement=<tex>\mathrm{\#SAT } \in \mathrm{IP}</tex>.

По лемме (1) вместо условия <tex>\langle \phi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>, можно проверять условие <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k</tex>.

Запросим Если <tex>d=0</tex> или <tex>m=0</tex>, то ''Verifier'' может проверить указанное выше условие сам и вернуть соответствующий результат.Иначе запросим у ''Prover'''а такое простое число <tex>p</tex>, что <tex>max(2^m+1, 3dm) \le p \le 2 \cdot max6dm</tex> (2^m+1, 3dm)такое <tex>p</tex>существует в силу [http://ru.wikipedia.org/wiki/Постулат_Бертрана постулата Бертрана]). Проверим <tex>p</tex> на простоту и на принадлежность заданному промежутку. Как мы [[Класс P#Примеры задач и языков из P|знаем]], <tex>\mathrm{Primes } \in \mathrm{P}</tex>, следовательно на эти операции у ''Verifier'''а уйдёт полиномиальное от размера входа время.

Заметим, что размер формулы <tex>A_0(x_1)</tex> будет полином от длины входа ''Verifier'' 'а, так как <tex>A_0(x_1)</tex> — полином от одной переменной степени не выше, чем <tex>d</tex>, от одной переменной, а значит его можно представить в виде <tex>A_0(x) = \sum\limits_{i = 0}^{d} C_i \cdot x ^ i</tex>.

Проверим следующее утверждение: <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex> (*) (здесь и далее под словом «проверим» будем подразумевать следующее: если утверждение верно, ''Verifier'' продолжает свою работу, иначе он прекращает свою работу и возвращет '''false''').

Пусть <tex>r_i = random(0..p-1)</tex>. Отправим <tex>r_i</tex> программе ''Prover''.

Проверим следующее утверждение: <tex>A_i(0) + A_i(1) = A_{i-1}(r_i)</tex>(*).

Пусть <tex>r_m = random(0..p-1)</tex>. Отправим <tex>r_m</tex> программе ''Prover''.

Проверим следующее утверждение: <tex>A_m() = A_{m-1}(r_m)</tex>(*).

Докажем теперь, что построенный таким образом ''Verifier'' — корректный. Таким образом, Для этого нужно доказатьследующие утверждения:

# <tex>\langle \varphi, k \rangle \in \mathrm{\#SAT } \Rightarrow \exists \mathit{Prover } : P(\mathit{Verifier^{Prover}}(x\langle \varphi, k \rangle)=1) \ge 2/3</tex>.# <tex>\langle \varphi, k \rangle \notin \mathrm{\#SAT } \Rightarrow \forall \mathit{Prover } : P(\mathit{Verifier^{Prover}}(x\langle \varphi, k \rangle)=1) \le 1/3</tex>. Докажем эти утверждения.

#По [[Арифметизация булевых формул с кванторами | лемме (2)]], если <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k</tex>, то условия (*) выполнятются, следовательно существует такой ''Prover'', что <tex>P(\mathit{Verifier^{Prover}}(\langle\phi,k\rangle)) = 1</tex>, для любой пары <tex>\langle\phi,k\rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.#Пусть количество наборов, удовлетворяющих <tex>\phi</tex>, не равно <tex>k</tex>. Для того, что бы ''Verifier'' вернул '''true''', ''Prover'' 'у необходимо посылать такие <tex>A_i</tex>, чтобы выполнялись все проверяемые условия. Посмотрим на то, что он может послать:

:Так как количество наборов, удовлетворяющих <tex>\phi</tex>, не равно <tex>k</tex>, то ''Prover'' не может послать правильное <tex>A_0</tex> – , поскольку в этом случае не выполнится условие <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex>. Поэтому он посылает не <tex>A_0</tex>, а некое <tex>\tilde{A}_0</tex>.:<tex>\ldots</tex>:'''Шаг 1i''':По [[Лемма ШварцаЗаметим, что если на каком-Зиппеля|лемме Шварца-Зиппеля]] то шаге <tex>PA_{i-1}(A_0(r_1r_i) = \tilde{A}_0_{i-1}(r_1r_i)) \le \frac d p</tex> для , то начиная со следующего шага ''Prover'' может посылать правильные <tex>A_j</tex> и в итоге ''Verifier'' вернёт '''true'''.:Для некоторого случайно выбранного <tex>r_1r_i</tex>. Тогда вероятность того, что <tex>PA_{i-1}(A_0(r_1r_i) \ne = \tilde{A}_0_{i-1}(r_1r_i)) \ge 1 - \frac d p</tex>, при этом должно выполняться равенство то есть <tex>r_i</tex> — корень полинома <tex>A_1(0) + A_1(A_{i-1} - \tilde{A}_{i-1}) = A_0(r_1r_i)</tex>. Значит с вероятностью , имеющего степень не меньше, чем больше <tex>1 - \frac d p</tex>, ''Prover'' отправит ''Verifier'' 'у не превосходит <tex>\tildefrac{d}{Ap}_1</tex> вместо <tex>A_1</tex>.

:Так как на последнем шаге ''Verifier'' полученным от ''Prover'' значение с непосредственно вычисленным, слово будет допущено только в том случае, когда ''Prover'' смог прислать верное значение, что в свою очередь возможно лишь если на одном из предыдущих шагов был верно угадан корень полинома.::Вычислим вероятность того, что хотя бы раз корень был угадан.: <tex>P(A_\mathit{m-1Verifier^{Prover}}(r_m) \ne langle \varphi, k \tilde{A}_{mrangle)=1) = 1 -(1}(r_m)- \frac d p) ^m \ge le 1 - (1 - \frac d p{3dm})^m \le \frac 1 3</tex>. Значит с такой вероятностью ''Verifier'' получит <tex>\tilde{A}_m<:В последнем переходе мы воспользовались [http:/tex> вместо <tex>A_m</tex>ru.wikipedia. Но так как на шаге org/wiki/Ряд_Тейлора формулой Тейлора] для логарифма и экспоненты, а также тем, что <tex>m</tex> ''Verifier'' вычисляет <tex>A_m0</tex> и сравнивает его с полученным от ''Prover'' 'а, то в этом случае ''Verifier'' вернет ''false''.  

Сведём язык <tex>\mathrm{TAUT}</tex> к языку <tex>\mathrm{\#SAT}</tex> следующим образом: <tex>\phi \mapsto \langle \phi, 2^k \rangle </tex>, где <tex>k</tex> — количество различных переменных в формуле <tex>\phi</tex>.

Очевидно, что <tex>\phi \in \mathrm{TAUT } \iff Leftrightarrow \langle \phi, 2^k \rangle \in \mathrm{\#SAT}</tex>.

По лемме (2) <tex>\mathrm{\#SAT } \in \mathrm{IP}</tex>. Тогда <tex>\mathrm{TAUT } \in \mathrm{IP}</tex>. Так как <tex>\mathrm{TAUT } \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{coNP} \subset \mathrm{IP}</tex>.