Изменения

Введём понятие арифметизации булевых формул. Пусть нам дана формула <tex>\phi(x_1 \ldots x_nx_m)</tex>. Сделаем следующие преобразования и получим формулу <tex>A_\phi(x_1, x_2, \ldots, x_nx_m)</tex>:

|statement=<tex>\phi(x_1 \ldots x_nx_m) = A_\phi(x_1, \ldots, x_nx_m)</tex>.

|statement=<tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_n x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_nx_m)=k \iff \langle\phi,k\rangle \in \#SAT</tex>.

Сперва арифметизуем формулу <tex>\phi</tex>. Пусть полученный полином <tex>A(x_1, x_2, ..., x_nx_m)</tex> имеет степень <tex>d</tex>. По лемме (2) вместо условия <tex>\langle \phi, k \rangle \in \#SAT</tex>, можно проверять условие <tex>\sum\limits_{x_1 = 0}^1 \ldots \sum\limits_{x_m = 0}^1 A_\phi(x_1, \ldots, x_m)=k</tex>. Приступим к описанию ''Verifier'''а. Шаг 0 Запросим у ''Prover'''а такое простое число <tex>p</tex>, что <tex>max(2^m+1, k_p) \le p \le 2 \cdot max(2^m+1, k_p)</tex>. Проверим простоту <tex>p</tex> и условие <tex>max(2^m+1, k_p) \le p \le 2 \cdot max(2^m+1, k_p)</tex> (константу <tex>k_p</tex> определим позднее). Как мы [[Класс P#Примеры задач и языков из P|знаем]], <tex>Primes \in \mathrm{P}</tex>, следовательно на эти операции у ''Verifier'''а уйдёт полиномиальное от размера входа время. Далее будем проводить все вычисления модулю <tex>p</tex>. Попросим ''Prover'' 'а прислать ''Verifier'' 'у формулу <tex>A_0(x_1)= \sum\limits_{x_2 = 0}^{1}\ldots\sum\limits_{x_m = 0}^{1} A(x_1, x_2, ..., x_m)</tex>. Заметим, что размер формулы <tex>A_0(x_1)</tex> будет полином от длины входа ''Verifier'' 'а, так как <tex>A_0(x_1)</tex> полином от одной переменной степени не выше, чем <tex>d</tex>, а значит его можно представить в виде <tex>A_0(x) = \sum\limits_{i = 0}^{d} C_i \cdot x ^ i</tex> .Проверим следующее утверждение: <tex>A_0(0) + A_0(1) = k</tex> (здесь и далее под словом «проверим» будем подразумевать следующее: если утверждение верно, ''Verifier'' продолжает свою работу, иначе он прекращает свою работу и возвращет '''false'''). Шаг 1