Линейность математического ожидания — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Использование линейности)
(Пример 1)
Строка 21: Строка 21:
  
  
<tex> E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i*\frac{1}{7}=3</tex>
+
<tex> E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \frac{1}{7}=3</tex>
  
 
Получаем ответ
 
Получаем ответ
 
<tex>E(\xi+\eta)=2*E(\xi)=6</tex>
 
<tex>E(\xi+\eta)=2*E(\xi)=6</tex>
 +
 
===Пример 2===
 
===Пример 2===
 
У нас есть строка s. Строка t генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов?Считать что размер алфавита равен <tex>k</tex>, а длина строки <tex>n</tex>.
 
У нас есть строка s. Строка t генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов?Считать что размер алфавита равен <tex>k</tex>, а длина строки <tex>n</tex>.

Версия 14:55, 24 декабря 2010

Линейность

Теорема:
Математическое ожидание [math]E[/math] линейно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. [math]E(\xi+\eta)={\sum_w \limits}(\xi(w)+\eta(w))p(w)={\sum_w \limits}\xi(w)p(w)+{\sum_w \limits}\eta(w)p(w)=E(\xi)+E(\eta) [/math]


2. [math]E(\alpha\xi)={\sum_w \limits}\alpha\xi(w)=\alpha{\sum_w \limits}\xi(w)=\alpha E(\xi)[/math],где [math]\alpha[/math]-действительное число
[math]\triangleleft[/math]

Использование линейности

Рассмотрим два примера

Пример 1

Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.

Пусть [math] \xi [/math]-случайная величина которая возвращает первое число на кости домино, а [math] \eta [/math]-возвращает второе число. Очевидно то что [math] E(\xi)= E(\eta)[/math]. Посчитаем [math]E(\xi)[/math].


[math] E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \frac{1}{7}=3[/math]

Получаем ответ [math]E(\xi+\eta)=2*E(\xi)=6[/math]

Пример 2

У нас есть строка s. Строка t генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов?Считать что размер алфавита равен [math]k[/math], а длина строки [math]n[/math].

Рассмотрим случайные величины [math]\xi^i[/math] - совпал ли у строк [math] i [/math]-тый символ. Найдем математическое ожидание этой величины [math]E(\xi^i)=0*p(\xi^i=0)+1*p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])[/math] где [math]s[i],t[i][/math]-[math]i[/math]тые символы соответствующих строк. Так как все символы равносильные то [math]p(s[i]=t[i])=\frac{1}{k}[/math].

Итоговый результат:[math]E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\frac{n}{k} [/math]