1632
правки
Изменения
м
{{Теорема|author=Кэли(''Cayley'')|about=о вложении любой конечной группы Материал перенесён в группу перестановок|statement=Любая конечная группа <tex>G</tex> изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (симметрической группе). |proof=Пусть <tex>*</tex> - бинарная операция в группе <tex>G</tex>. Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G[[Математическое ожидание случайной величины]], f_g(x) = g*x</tex>. Вследствие существования обратного к <tex>g</tex> элемента <tex>g^{эту страницу нужно удалить -1}</tex>, у этой функции есть обратная к ней <tex>f^{-1}_g</tex> , и поэтому <tex>f_g</tex> - перестановка. Пусть <tex>\circ</tex> - композиция двух перестановок.Рассмотрим множество <tex>K = \{f_g [[Участник: g \in G\}</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex> изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 08: G \rightarrow K,\45, T13 января 2012 (xMSK) = f_x</tex>. Заметим, что *<tex>T(g)\circ T(h) = T(g*h)</tex>. Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)</tex>. *<tex>T</tex> - инъекция, потому что <tex>f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'</tex>.*Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>. То есть <tex>T</tex> - гомоморфизм, а значит изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен. }} ==Источники==* [http[Категория://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopediaУдалить]]
rollbackEdits.php mass rollback
