Линейность математического ожидания — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Пример 2)
(Содержимое страницы заменено на «Материал перенесён в Математическое ожидание случайной величины, эту ...»)
Строка 1: Строка 1:
== Линейность ==
+
Материал перенесён в [[Математическое ожидание случайной величины]], эту страницу нужно удалить --[[Участник:SkudarnovYaroslav|SkudarnovYaroslav]] 08:45, 13 января 2012 (MSK)
 
+
[[Категория:Удалить]]
{{Теорема
 
|statement=
 
Математическое ожидание <tex>E</tex> линейно.
 
|proof=
 
1. <tex>E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w))p(w) = {\sum_w \limits}\xi(w)p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w)p(w) = E(\xi) + E(\eta) </tex>
 
 
 
2. <tex>E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)</tex>, где <tex>\alpha</tex> — действительное число
 
 
 
}}
 
 
 
==Использование линейности==
 
Рассмотрим два примера
 
===Пример 1===
 
Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.
 
 
 
Пусть <tex> \xi </tex> — случайная величина которая возвращает первое число на кости домино, а <tex> \eta </tex> — возвращает второе число.
 
Очевидно, что <tex> E(\xi)= E(\eta)</tex>.
 
Посчитаем <tex>E(\xi)</tex>.
 
 
 
 
 
<tex> E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \frac{1}{7}=3</tex>
 
 
 
Получаем ответ
 
<tex>E(\xi+\eta)=2E(\xi)=6</tex>
 
 
 
===Пример 2===
 
Пусть у нас есть строка s. Строка t генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов? Считать что размер алфавита равен <tex>k</tex>, а длина строки <tex>n</tex>.
 
 
 
Рассмотрим случайные величины <tex>\xi^i</tex> — совпал ли у строк  <tex> i </tex>-тый символ.
 
Найдем математическое ожидание этой величины
 
<tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])</tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> — <tex>i</tex>тые символы соответствующих строк.
 
Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\frac{1}{k}</tex>.
 
 
 
Итоговый результат: <tex>E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\frac{n}{k} </tex>
 

Версия 08:45, 13 января 2012

Материал перенесён в Математическое ожидание случайной величины, эту страницу нужно удалить --SkudarnovYaroslav 08:45, 13 января 2012 (MSK)