Изменения

{{В разработке}}[[Нормированные пространства|<br<]] [[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|>>]]

Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <tex>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <tex>\mathcal{A \left } ( \alpha x + \beta y \right )=\alpha \mathcal{A } \left ( x \right )+\beta \mathcal{A } \left ( y \right ), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>}}Из того факта, что <tex>\mathcal{A } \left ( \alpha x \right )=\alpha \mathcal{A } \left ( x \right )\forall \alpha \in \mathbb {R} </tex>, следует, что <tex>\forall \alpha \in \mathbb mathcal{RA}~ A \left ( 0 \right )=0</tex>.<br> 

Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} , m \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A } \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex> }}Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:<br>

Л.о. непрерывен в Xточке <tex>x</tex>, если <tex>\lim \limits_{\mathcal {4} Delta x \to 0} \mathcal{A } \left ( x+\mathcal{4}Delta x \right )=\mathcal{A} \left (x \right ) </tex> }}В силу линейности непрерывность Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора: {{Лемма|statement=Непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>. Доказательство:<br><tex> \vartriangleright </tex> |proof=Пусть <tex> \lim \limits_{\mathcal {4} Delta x \to 0} \mathcal{A } \left ( \mathcal{4}Delta x \right )=\mathcal{A} \left (0 \right )=0</tex><br> <tex> \left \| \mathcal{A \left }( x + \mathcal{4} Delta x) - \right ) - mathcal{A \left }( x \right ) \right \| = \left \| \mathcal{A } \left (x \right)+ \mathcal{A } \left ( \mathcal{4}Delta x \right)-\mathcal{A } \left (x \right )\right \| = \left \| \mathcal{A } \left ( \mathcal{4}Delta x \right )\right \| \xrightarrow {[\mathcal{4}Delta x \to 0]{} 0 </tex><br> Значит, <tex>\mathcal{A } \left ( x + \mathcal{4} Delta x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}Delta x \to 0]{} \mathcal{A \left }( x \right ) </tex>, и <tex> \vartriangleleftmathcal{A} </tex>непрерывен в <tex> x <br/tex>по определению.}} 

Л.о. Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.|proof=# <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>#: <tex>\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| </tex>#: <tex> \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex>.#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, в частности, в <tex>0</tex>, тогда:#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \Rightarrow ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>#* Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>.#* Для <tex>x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad</tex>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>#*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>#: Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, и получим, что оператор ограничен.}} {{Определение|definition=Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|</tex>.}} При <tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex>, имеем<tex>\left \| \mathcal{A}z \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|</tex> <tex>\mathcal{A}z = \frac {\mathcal{A}x}{\left \| x \right \|}</tex>, таким образом, <tex> \left \| \mathcal{A}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex> Норма оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> удовлетворяет трём стандартным аксиомам абстрактной нормы:# <tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \ge 0, \left \| \mathcal{A} \right \| = 0 \Longleftrightarrow \mathcal{A} = 0</tex># <tex>\left \| \alpha \mathcal{A} \right \| = \left | \alpha \right | \left \| \mathcal{A} \right \|</tex># <tex>\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|</tex>Докажем свойство 3: {{Утверждение|statement=<tex>\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|</tex>|proof=Рассмотрим <tex>x</tex>, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1</tex>. <tex> \left \| \left ( \mathcal{A} + \mathcal{B} \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|\mathcal{A}x \right \| + \left \| \mathcal{B}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|, \forall x \le 1 </tex>}} <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y, ~\mathcal{B}\colon Y \to Z</tex> <tex>\mathcal{B} \circ \mathcal{A} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \colon X \to Z, \left ( \mathcal{B}\mathcal{A} \right ) \left ( x \right ) = \mathcal{B} \left ( \mathcal{A} \left ( x \right ) \right )</tex> <tex>\left \| \mathcal{B}\mathcal{A} \right \| \le \left \| \mathcal{B} \right \| \cdot \left \| \mathcal{A} \right \| </tex>, в частности, <tex>\left \| \mathcal{A}^n \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|^n</tex> {{Утверждение|statement=<tex>\|\mathcal{BA}\| \leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\| </tex>|proof=<tex>\forall x : \|x\| < 1 : \|\mathcal{BA}x\| = \mathcal{B}(\mathcal{A}x) </tex> <tex>\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}x\|</tex> <tex>\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}\| \cdot \|x\|</tex> <tex>\leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\|</tex>}} Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Рассмотрим частный случай: <tex>\mathcal{A}\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb{R}^n, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k=\left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle</tex>. Тогда <tex>\mathcal{A} \left (\overline {x} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k \mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) </tex> Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, <tex>\mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>. <tex>\mathcal{A} \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' </tex> {{Утверждение|statement=<tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>

1) A — ограничен, значит, <tex> \left overline y = \| mathcal{A } \left ( overline x , y_j = \right ) sum \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex>— здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>\left \| mathcal{A } \left ( colon \mathcal mathbb{4R} x ^n \right ) to \right \| \le mathbb{R}^m \left \| longleftrightarrow \mathcal {4A} x \right \|.~ A = \left ( \mathcal a_{4jk} x \right )\xrightarrow {\mathcal{4}x \to 0} 0 </tex> А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и на X.2) A — непрерывен на X<tex>m</tex> соответственно, а <tex> 0 = \lim \limits_mathcal{x \to 0A} A \left ( overline x \right )</tex>— результат действия л.о. <brtex>\mathcal{A}</tex>\varepsilon = 1: \exists \delta на точку <tex> 0: \left \| overline x \right \| \le \delta</tex> и, значит, при можно представить в виде произведения матрицы <tex>\mathcal{4A}</tex> и столбца <tex>x </tex>. В <tex>\to 0mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | A \le \sum \limits_{k=1}^m \left ( x | a_{jk} \right ) | \left | x_k \right \| \le \varepsilon sqrt {\sum \limits_{k= 1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex><br>(по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\forall overline x \ne to 0</tex> рассмотрим неизбежно следует <tex>z = \frac{sum \delta}limits_{2k=1} \frac ^m a_{xjk}{x_k \left \| x \right \|}to 0</tex> Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен.~  Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора: <tex>\left \| z \overline y \right \| = \fracsqrt{\deltasum \limits_{j=1}^m y^{2} _j} </tex> < tex> y^{2}_j \le \deltaleft ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 </tex><br>. <tex>\left \| A \left ( z \right ) overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1.~A }^m \left ( z \right ) = sum \frac limits_{\deltak=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|} A \left ( x \right )^2</tex> <tex>A \left ( z \right ) = | \frac mathcal{\deltaA}{2 \left \| overline x \right \|\le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| Ax \overline x \right \| \le 1</tex>, таким  Таким образом, финальная оценка — <tex>Ax \left \| \mathcal{A} \right \| \le \frac sqrt{2 \left sum \| x limits_{k=1}^n \right sum \|limits_{j=1}^m a_{\deltajk}^2}</tex><br>Очевидно. Но, в общем случае, это верно и для <tex>x=0</tex>эта оценка достаточно грубая.

Нормой ограниченного оператора '''Линейный функционал''' - линейный оператор вида <tex>\left \| mathcal{A }: H \right rightarrow \|mathbb{R} </tex> является , где <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| Ax \right \|H </tex>- гильбертово пространство.}}<tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \Теорема| statement= 1</tex><br>Для любого <tex>x_0 \left \| Az \right \| \le \left \| A \right \|in H </tex><br>существует ограниченный линейный функционал <tex>Az = f \frac {Ax}{colon H \left to \| x \right \|mathbb{R}</tex>, таким образом, обладающий такими свойствами:# <tex> f \left \| Ax ( x_0 \right \| \le \left \| A \right \| ) = \left \| x x_0 \right \|, \forall x \in X</tex><br><br># <tex>\left \| A f \right \|= 1</tex> удовлетворяет стандартным трём аксиомам нормы:<br>1) |proof=Для <tex>\left \| A \right \| \ge 0, \left \| A \right \| = 0 \Longleftrightarrow A x_0 = 0</tex><br>2) подойдет любой линейный функционал, такой, что <tex>\left \| \alpha A \right f\| = \left | \alpha \right | \left \| A \right \|1 </tex><br>3) , поэтому рассмотрим <tex>x_0 \left \| A + B \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|ne 0 </tex>. Рассмотрим <brtex>H<br/tex>Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно-пространство(гильбертово). Примеры:Фиксируем <brtex>y \in H <br/tex>Рассмотрим x, такой, что и определим <tex>f\left \| ( x \right \| \le 1. \left \| \left ( A + B \right ) =\left ( x ,y\right ) \right \| \le \left \|Ax \right \| + \left \| Bx \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|, \forall x \le 1 </tex><br>. <tex>~A\colon X \to Y, ~B\colon Y \to Zf</tex><br>— линейный функционал. По неравенству Шварца, <tex>B \circ A = B \cdot A \colon X \to Z, left | f \left ( BA x \right ) \right | \le \left ( x \| y \right ) = B \| \left ( A \left ( | x \right ) \right )|</tex><br>, следовательно, <tex>\left \| BA f \right \| \le \left \| B y \right \| , x = \cdot frac y {\left \| A y \right \| </tex>, в частности}, <tex>\left \| A^n x \right \| = 1. \le left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| A y \right \|^n</tex><br><br>.Рассмотрим частный случай:<br><tex>A\colon forall ~x_0 \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x ne 0 \in \mathbb RH, \overline x ~ y_0 = \sum \limits_frac {k=1x_0}^n x_k \overline {e_k}, x_k=\left \langle | x_0 \overline xright \|}, \overline {e_k}left \| y_0 \right \rangle| = 1</tex>. Тогда  Рассмотрим <tex>A f \left (\overline {x_k} x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k A \left ( \overline {e_k} x, y_0 \right ) </tex><br>Таким образом, если оператор действует из конечномеронго пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, <tex>A \left ( \overline {e_k} | f \right ) = \sum \limits_{j| =1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>.<br><tex>A ~ f \left ( \overline x x_0 \right ) = \sum left ( x_0, \limits_frac {k=1x_0}^n {\sum left \limits_{j=1}^m | x_0 \left ( a_{jk}x_kright \overline{e_j|}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k | x_0 \right ) \overline{e_j}' |</tex><br>. Как раз это нам и нужно. }} {{Утверждение|statement=<tex>\overline forall x \ne y = A \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_kexists</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: линейный функционал <tex>A \colon \mathbbmathcal{RA}^n : \to \mathbbmathcal{RA}^m x \longleftrightarrow A = ne \left ( a_mathcal{jkA} \right )y</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>n</tex> до <tex>m</tex> соответственно, а |about=Разделение точек|proof=Рассмотрим <tex>A \overline x -y</tex> — результат действия л.о. <tex>\exists \mathcal{A</tex> на точку <tex>} : \overline mathcal{A}(x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex>A</tex> и столбца <tex>- y) = \| x- y\|</tex>.<br>В По линейности, <tex>\mathbbmathcal{RA}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k(x - y) =1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_mathcal{k=1A}^m x - \left | a_mathcal{jkA} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|y</tex>. Значит, таким образом, из <tex>\overline mathcal{A}x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum ne \limits_mathcal{k=1A}^m a_{jk} x_k \to 0y</tex><br>.}} Дальше, если верить моему конспекту, говорится, что, таким образом, линейный оператор, действующий из [[Нормированные пространства|<tex>\mathbb{R}^n</tex> и/или ]] [[Дифференцируемые отображения в <texнормированных пространствах|>\mathbb{R}^n</tex>, всегда непрерывен.]][[Категория:Математический анализ 1 курс]]