Изменения

Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| A \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| Ax \right \|</tex>.}} <tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex><br> <tex>\left \| Az \right \| \le \left \| A \right \|</tex><br> <tex>Az = \frac {Ax}{\left \| x \right \|}</tex>, таким образом, <tex> \left \| Ax \right \| \le \left \| A \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex><br><br> <tex>\left \| A \right \|</tex> удовлетворяет стандартным трём аксиомам нормы:<br>1) # <tex>\left \| A \right \| \ge 0, \left \| A \right \| = 0 \Longleftrightarrow A = 0</tex><br>2) # <tex>\left \| \alpha A \right \| = \left | \alpha \right | \left \| A \right \|</tex><br>3) # <tex>\left \| A + B \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|</tex><br><br>Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. ПримерыДокажем свойство 3:<br><br> Рассмотрим x, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1. \left \| \left ( A + B \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|Ax \right \| + \left \| Bx \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|, \forall x \le 1 </tex><br> <tex>~A\colon X \to Y, ~B\colon Y \to Z</tex><br> <tex>B \circ A = B \cdot A \colon X \to Z, \left ( BA \right ) \left ( x \right ) = B \left ( A \left ( x \right ) \right )</tex><br> <tex>\left \| BA \right \| \le \left \| B \right \| \cdot \left \| A \right \| </tex>, в частности, <tex>\left \| A^n \right \| \le \left \| A \right \|^n</tex><br><br>  Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Примеры: