Линейные уравнения высших порядков — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Фундаментальная система решений ЛОДУ)
(не показано 13 промежуточных версий 2 участников)
Строка 4: Строка 4:
 
пусть <tex>\alpha(y) = y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y</tex>, тогда  уравнение имеет вид <tex>\alpha(y) = f(x)</tex>.<br>
 
пусть <tex>\alpha(y) = y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y</tex>, тогда  уравнение имеет вид <tex>\alpha(y) = f(x)</tex>.<br>
 
<tex>\alpha(y)</tex> называется линейным дифференциальным оператором n-ного порядка.
 
<tex>\alpha(y)</tex> называется линейным дифференциальным оператором n-ного порядка.
Очевидно, что <tex>\alpha (\Sigma_{i = 0}^{n} C_ky_k) = \Sigma_{i = 0}^{n} C_k\alpha(y_k)</tex>.
+
Очевидно, что <tex>\alpha (\Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_k\alpha(y_k)</tex>.
 +
 
 
==Свойства решения однородного уравнения==
 
==Свойства решения однородного уравнения==
 +
Если <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> {{---}} решения ЛОДУ (линейного однородного дифференциального уравнения), то <tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex> {{---}} решение.
 +
Отсюда делаем вывод, что множество решений ЛОДУ - это линейное пространство.
 +
{{Определение|definition= функции <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> называются линейно зависимыми(ЛЗ), если
 +
<tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) \equiv 0 \Leftrightarrow \Sigma_{k = 0}^{n} \alpha_k^2 = 0</tex>.
 +
иначе они называются линейно независимыми(ЛНЗ).}}
 +
{{Утверждение|statement=если <tex>y_1(x),\dots, y_n(x)</tex> - ЛЗ в промежутке (a, b) , то одна из них представляется линейной комбинацией остальных.
 +
|proof=пусть <tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0 </tex> при некотором наборе <tex>\alpha_i</tex> , среди которых хотя бы одна отлична от нуля.
 +
тогда  <tex>y_m(x) = -\frac{\alpha_1}{\alpha_m}y_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_m}y_2 - \dots - \frac{\alpha_{m - 1}}{\alpha_m}y_{m - 1}- \frac{\alpha_{m + 1}}{\alpha_m}y_{m + 1} - \dots - \frac{\alpha_n}{\alpha_m}y_n</tex>, где <tex>\alpha_m \neq 0</tex> }}
 +
==Фундаментальная система решений ЛОДУ==
 +
{{Определение|definition=Совокупность из n ЛНЗ решений в интервале (a, b) называется фундаментальной системой решений ЛОДУ.}}
 +
{{Определение|definition=Определитель Вронского набора  <tex>y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)</tex> имеет вид:
 +
<br>
 +
<tex>
 +
W(x) =\begin{vmatrix}
 +
y_1(x)  & y_2(x) & \dots & y_n(x) \\
 +
y_1'(x) & y_2'(x)& \dots &y_n'(x) \\
 +
\dots &  \dots  & \dots & \dots\\
 +
y_1^{(n - 1)}(x) &y_2^{(n - 1)}(x)  & \dots  & y_n^{(n -1)}(x)
 +
\end{vmatrix}</tex>}}
 +
{{Теорема|about=критерий ЛНЗ набора функций|statement= пусть <tex>y_1(x), \dots , y_n(x)</tex> - некоторый набор n - 1 раз дифференцируемых функций.
 +
Тогда он образует ЛНЗ набор тогда и только тогда , когда <tex>W(x) \neq 0</tex> на (a, b).
 +
|proof=
 +
рассмотрим сумму <tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x)</tex>, и найдем набор <tex>\alpha_1, \dots, \alpha_n</tex>, при котором она обращается в 0. Т.е. решим уравнение относительно альф.
 +
продифференцировав, n - 1 раз уравнение получим систему:
 +
<tex>
 +
\left\{\begin{matrix}
 +
\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0\\
 +
\alpha_1y_1'(x) + \alpha_2y_2'(x) + \dots + \alpha_ny_n'(x) = 0
 +
\\
 +
\dots
 +
\\
 +
\alpha_1y_1^{(n - 1)}(x) + \alpha_2y_2^{(n - 1)}(x) + \dots + \alpha_ny_n^{(n - 1)}(x) = 0
 +
\end{matrix}\right.
 +
</tex><br>
 +
получаем однородную систему линейных уравнений относительно альф. она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ее определитель равен 0 , а он, по определению , является определителем Вронского. теорема доказана.}}
 +
 +
==Общее решение ЛОДУ==
 +
{{Утверждение|about=Формула Остроградского-Лиувиля|statement=Определитель Вронского равен <tex dpi="145">W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p_1(t)dt}</tex>, где <tex>p_1(x)</tex> {{---}} коэффицент при
 +
<tex>y^{(n - 1)}</tex><br>
 +
если <tex>W(x_0)= 0 \Rightarrow W(x) = 0 \: \forall x</tex><br>
 +
если <tex>W(x_0)\neq 0 \Rightarrow W(x) \neq 0 \: \forall x</tex>}}
 +
{{Теорема|about=структура общего решения ЛОДУ|statement=пусть <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> - ФСР, <tex>\alpha(y) = 0</tex> в (a, b) тогда общее решение имеет вид:
 +
<tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex>
 +
|proof= <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> - ФСР, <tex>\alpha(y) = 0</tex> в (a, b) т.к. в окрестности /* TODO: какой?*/ выполнено условие теоремы Пикара => решение существует и единственно.
 +
Покажем, что <tex>(\ast) </tex> - общее решение:
 +
<tex>
 +
\left\{\begin{matrix}
 +
y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)
 +
\\
 +
y'(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k'(x)
 +
\\
 +
\dots
 +
\\
 +
y^{(n -1)}(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k^{(n - 1)}(x)
 +
 +
\end{matrix}\right.
 +
</tex> {{---}} эта система разрешима относительно <tex>C_i, \forall i=1..n</tex>, так как <tex>W(x) \neq 0 \:\: \Rightarrow</tex>
 +
<br>
 +
<tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex> {{---}} есть общее решение <tex>\alpha(y) = 0</tex>
 +
}}
 +
 +
==Общее решение ЛНДУ==
 +
{{Теорема|statement=
 +
Общее решение ЛНДУ(линейного неоднородного дифференцального уравнения) есть суперпозиция любого частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ
 +
|proof=
 +
обозначаем: <br>
 +
<tex>y_{p.i.}</tex> {{---}} частное решение ЛНДУ.<br>
 +
<tex>z_{c.h.}</tex> {{---}} общее решение ЛОДУ.
 +
<tex>y(x) = y_{p.i.}(x) + z_{c.h.} \: ?</tex><br>
 +
пусть <tex>y_1(x) = y_{p.i.}, \: z(x) = z_{c.h.}</tex><br>
 +
рассмотрим <tex>y(x) = y_1(x) + z(x)</tex>. <tex>\alpha(y) = \alpha(y_1 + z) = \alpha(y_1) + \alpha(z)</tex>. Но <tex>\alpha(y_1) = f(x) \Rightarrow</tex> <br>
 +
<tex>f(x) = f(x) + \alpha(z) \Rightarrow \alpha(z) = 0</tex>. Значит y - действительно общее решение <tex>\alpha(y) = f(x)</tex>
 +
}}

Версия 22:44, 30 ноября 2015

Определение

Определение:
[math]y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y = f(x)[/math] — называется линейным уравнением n-ного порядка.


Определение:
если [math]f(x)\equiv 0[/math] то уравнение называется однородным, иначе - неоднородным.

пусть [math]\alpha(y) = y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y[/math], тогда уравнение имеет вид [math]\alpha(y) = f(x)[/math].
[math]\alpha(y)[/math] называется линейным дифференциальным оператором n-ного порядка. Очевидно, что [math]\alpha (\Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_k\alpha(y_k)[/math].

Свойства решения однородного уравнения

Если [math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] — решения ЛОДУ (линейного однородного дифференциального уравнения), то [math]y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)[/math] — решение. Отсюда делаем вывод, что множество решений ЛОДУ - это линейное пространство.

Определение:
функции [math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] называются линейно зависимыми(ЛЗ), если

[math]\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) \equiv 0 \Leftrightarrow \Sigma_{k = 0}^{n} \alpha_k^2 = 0[/math].

иначе они называются линейно независимыми(ЛНЗ).
Утверждение:
если [math]y_1(x),\dots, y_n(x)[/math] - ЛЗ в промежутке (a, b) , то одна из них представляется линейной комбинацией остальных.
[math]\triangleright[/math]

пусть [math]\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0 [/math] при некотором наборе [math]\alpha_i[/math] , среди которых хотя бы одна отлична от нуля.

тогда [math]y_m(x) = -\frac{\alpha_1}{\alpha_m}y_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_m}y_2 - \dots - \frac{\alpha_{m - 1}}{\alpha_m}y_{m - 1}- \frac{\alpha_{m + 1}}{\alpha_m}y_{m + 1} - \dots - \frac{\alpha_n}{\alpha_m}y_n[/math], где [math]\alpha_m \neq 0[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Фундаментальная система решений ЛОДУ

Определение:
Совокупность из n ЛНЗ решений в интервале (a, b) называется фундаментальной системой решений ЛОДУ.


Определение:
Определитель Вронского набора [math]y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)[/math] имеет вид:


[math] W(x) =\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \dots & y_n(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x)& \dots &y_n'(x) \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ y_1^{(n - 1)}(x) &y_2^{(n - 1)}(x) & \dots & y_n^{(n -1)}(x) \end{vmatrix}[/math]
Теорема (критерий ЛНЗ набора функций):
пусть [math]y_1(x), \dots , y_n(x)[/math] - некоторый набор n - 1 раз дифференцируемых функций. Тогда он образует ЛНЗ набор тогда и только тогда , когда [math]W(x) \neq 0[/math] на (a, b).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

рассмотрим сумму [math]\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x)[/math], и найдем набор [math]\alpha_1, \dots, \alpha_n[/math], при котором она обращается в 0. Т.е. решим уравнение относительно альф. продифференцировав, n - 1 раз уравнение получим систему: [math] \left\{\begin{matrix} \alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0\\ \alpha_1y_1'(x) + \alpha_2y_2'(x) + \dots + \alpha_ny_n'(x) = 0 \\ \dots \\ \alpha_1y_1^{(n - 1)}(x) + \alpha_2y_2^{(n - 1)}(x) + \dots + \alpha_ny_n^{(n - 1)}(x) = 0 \end{matrix}\right. [/math]

получаем однородную систему линейных уравнений относительно альф. она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ее определитель равен 0 , а он, по определению , является определителем Вронского. теорема доказана.
[math]\triangleleft[/math]

Общее решение ЛОДУ

Утверждение (Формула Остроградского-Лиувиля):
Определитель Вронского равен [math]W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p_1(t)dt}[/math], где [math]p_1(x)[/math] — коэффицент при

[math]y^{(n - 1)}[/math]
если [math]W(x_0)= 0 \Rightarrow W(x) = 0 \: \forall x[/math]

если [math]W(x_0)\neq 0 \Rightarrow W(x) \neq 0 \: \forall x[/math]
Теорема (структура общего решения ЛОДУ):
пусть [math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] - ФСР, [math]\alpha(y) = 0[/math] в (a, b) тогда общее решение имеет вид: [math]y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] - ФСР, [math]\alpha(y) = 0[/math] в (a, b) т.к. в окрестности /* TODO: какой?*/ выполнено условие теоремы Пикара => решение существует и единственно. Покажем, что [math](\ast) [/math] - общее решение: [math] \left\{\begin{matrix} y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x) \\ y'(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k'(x) \\ \dots \\ y^{(n -1)}(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k^{(n - 1)}(x) \end{matrix}\right. [/math] — эта система разрешима относительно [math]C_i, \forall i=1..n[/math], так как [math]W(x) \neq 0 \:\: \Rightarrow[/math]

[math]y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)[/math] — есть общее решение [math]\alpha(y) = 0[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Общее решение ЛНДУ

Теорема:
Общее решение ЛНДУ(линейного неоднородного дифференцального уравнения) есть суперпозиция любого частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

обозначаем:
[math]y_{p.i.}[/math] — частное решение ЛНДУ.
[math]z_{c.h.}[/math] — общее решение ЛОДУ. [math]y(x) = y_{p.i.}(x) + z_{c.h.} \: ?[/math]
пусть [math]y_1(x) = y_{p.i.}, \: z(x) = z_{c.h.}[/math]
рассмотрим [math]y(x) = y_1(x) + z(x)[/math]. [math]\alpha(y) = \alpha(y_1 + z) = \alpha(y_1) + \alpha(z)[/math]. Но [math]\alpha(y_1) = f(x) \Rightarrow[/math]

[math]f(x) = f(x) + \alpha(z) \Rightarrow \alpha(z) = 0[/math]. Значит y - действительно общее решение [math]\alpha(y) = f(x)[/math]
[math]\triangleleft[/math]