Изменения
→Фундаментальная система решений ЛОДУ
==Свойства решения однородного уравнения==
Если <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> {{---}} решения ЛОДУ (линейного однородного дифференциального уравнения), то <tex>y(x) = \Sigma_{i k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex> {{---}} решение.
Отсюда делаем вывод, что множество решений ЛОДУ - это линейное пространство.
{{Определение|definition= функции <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> называются линейно зависимыми(ЛЗ), если
иначе они называются линейно независимыми(ЛНЗ).}}
{{Утверждение|statement=если <tex>y_1(x),\dots, y_n(x)</tex> - ЛЗ в промежутке (a, b) , то одна из них представляется линейной комбинацией остальных.
|proof=пусть <tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0</tex> при некотором наборе <tex>\alpha_i</tex> , среди которых хотя бы одна отлична от нуля.
тогда <tex>y_m(x) = -\frac{\alpha_1}{\alpha_m}y_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_m}y_2 - \dots - \frac{\alpha_{m - 1}}{\alpha_m}y_{m - 1}- \frac{\alpha_{m + 1}}{\alpha_m}y_{m + 1} - \dots - \frac{\alpha_n}{\alpha_m}y_n</tex>, где <tex>\alpha_m \neq 0</tex> }}
==Фундаментальная система решений ЛОДУ==
{{Определение|definition=Совокупность из n ЛНЗ решений в интервале (a, b) называется фундаментальной системой решений ЛОДУ.}}
{{Определение|definition=Определитель Вронского набора <tex>y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)</tex> имеет вид:
<br>
<tex>
W(x) =\begin{vmatrix}
y_1(x) & y_2(x) & \dots & y_n(x) \\
y_1'(x) & y_2'(x)& \dots &y_n'(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
y_1^{(n - 1)}(x) &y_2^{(n - 1)}(x) & \dots & y_n^{(n -1)}(x)
\end{vmatrix}</tex>}}
{{Теорема|about=критерий ЛНЗ набора функций|statement= пусть <tex>y_1(x), \dots , y_n(x)</tex> - некоторый набор n - 1 раз дифференцируемых функций.
Тогда он образует ЛНЗ набор тогда и только тогда , когда <tex>W(x) \neq 0</tex> на (a, b).
|proof=
рассмотрим сумму <tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x)</tex>, и найдем набор <tex>\alpha_1, \dots, \alpha_n</tex>, при котором она обращается в 0. Т.е. решим уравнение относительно альф.
продифференцировав, n - 1 раз уравнение получим систему:
<tex>
\left\{\begin{matrix}
\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0\\
\alpha_1y_1'(x) + \alpha_2y_2'(x) + \dots + \alpha_ny_n'(x) = 0
\\
\dots
\\
\alpha_1y_1^{(n - 1)}(x) + \alpha_2y_2^{(n - 1)}(x) + \dots + \alpha_ny_n^{(n - 1)}(x) = 0
\end{matrix}\right.
</tex><br>
получаем однородную систему линейных уравнений относительно альф. она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ее определитель равен 0 , а он, по определению , является определителем Вронского. теорема доказана.}}
==Общее решение ЛОДУ==
{{Утверждение|about=Формула Остроградского-Лиувиля|statement=Определитель Вронского равен <tex dpi="145">W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p_1(t)dt}</tex>, где <tex>p_1(x)</tex> {{---}} коэффицент при
<tex>y^{(n - 1)}</tex><br>
если <tex>W(x_0)= 0 \Rightarrow W(x) = 0 \: \forall x</tex><br>
если <tex>W(x_0)\neq 0 \Rightarrow W(x) \neq 0 \: \forall x</tex>}}
{{Теорема|about=структура общего решения ЛОДУ|statement=пусть <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> - ФСР, <tex>\alpha(y) = 0</tex> в (a, b) тогда общее решение имеет вид:
<tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex>
|proof= <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> - ФСР, <tex>\alpha(y) = 0</tex> в (a, b) т.к. в окрестности /* TODO: какой?*/ выполнено условие теоремы Пикара => решение существует и единственно.
Покажем, что <tex>(\ast) </tex> - общее решение:
<tex>
\left\{\begin{matrix}
y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)
\\
y'(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k'(x)
\\
\dots
\\
y^{(n -1)}(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k^{(n - 1)}(x)
\end{matrix}\right.
</tex> {{---}} эта система разрешима относительно <tex>C_i, \forall i=1..n</tex>, так как <tex>W(x) \neq 0 \:\: \Rightarrow</tex>
<br>
<tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex> {{---}} есть общее решение <tex>\alpha(y) = 0</tex>
}}
==Общее решение ЛНДУ==
{{Теорема|statement=
Общее решение ЛНДУ(линейного неоднородного дифференцального уравнения) есть суперпозиция любого частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ
|proof=
обозначаем: <br>
<tex>y_{p.i.}</tex> {{---}} частное решение ЛНДУ.<br>
<tex>z_{c.h.}</tex> {{---}} общее решение ЛОДУ.
<tex>y(x) = y_{p.i.}(x) + z_{c.h.} \: ?</tex><br>
пусть <tex>y_1(x) = y_{p.i.}, \: z(x) = z_{c.h.}</tex><br>
рассмотрим <tex>y(x) = y_1(x) + z(x)</tex>. <tex>\alpha(y) = \alpha(y_1 + z) = \alpha(y_1) + \alpha(z)</tex>. Но <tex>\alpha(y_1) = f(x) \Rightarrow</tex> <br>
<tex>f(x) = f(x) + \alpha(z) \Rightarrow \alpha(z) = 0</tex>. Значит y - действительно общее решение <tex>\alpha(y) = f(x)</tex>
}}
