Изменения
→Фундаментальная система решений ЛОДУ
y_1^{(n - 1)}(x) &y_2^{(n - 1)}(x) & \dots & y_n^{(n -1)}(x)
\end{vmatrix}</tex>}}
{{Теорема|about=критерий ЛНЗ решений ЛОДУнабора функций|statement= пусть <tex>y_1(x), \dots , y_n(x)</tex> - некоторая совокупность решений уравнения <tex>\alpha(y) = 0</tex>некоторый набор n - 1 раз дифференцируемых функций.Тогда она он образует ЛНЗ набор тогда и только тогда , когда <tex>W(x) \neq 0</tex> на (a, b).
|proof=
рассмотрим сумму <tex>\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x)</tex>, и найдем набор <tex>\alpha_1, \dots, \alpha_n</tex>, при котором она обращается в 0. Т.е. решим уравнение относительно альф.
\end{matrix}\right.
</tex><br>
получаем однородную систему линейных уравнений относительно альф. она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ее определитель не равен 0 , а он, по определению , является определителем Вронского. теорема доказана.}}
==Общее решение ЛОДУ==
{{Утверждение|about=Формула Остроградского-Лиувиля|statement=Определитель Вронского равен <tex dpi="145">W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p_1(t)dt}</tex>, где <tex>p_1(x)</tex> {{---}} коэффицент при
<tex>y^{(n - 1)}</tex><br>если <tex>W(x_0)= 0 \Rightarrow W(x) = 0 \: \forall x</tex><br>если <tex>W(x_0)\neq 0 \Rightarrow W(x) \neq 0 \: \forall x</tex>}}
{{Теорема|about=структура общего решения ЛОДУ|statement=пусть <tex>y_1(x), \dots, y_n(x)</tex> - ФСР, <tex>\alpha(y) = 0</tex> в (a, b) тогда общее решение имеет вид:
<tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex>
<br>
<tex>y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)</tex> {{---}} есть общее решение <tex>\alpha(y) = 0</tex>
}}
==Общее решение ЛНДУ==
{{Теорема|statement=
Общее решение ЛНДУ(линейного неоднородного дифференцального уравнения) есть суперпозиция любого частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ
|proof=
обозначаем: <br>
<tex>y_{p.i.}</tex> {{---}} частное решение ЛНДУ.<br>
<tex>z_{c.h.}</tex> {{---}} общее решение ЛОДУ.
<tex>y(x) = y_{p.i.}(x) + z_{c.h.} \: ?</tex><br>
пусть <tex>y_1(x) = y_{p.i.}, \: z(x) = z_{c.h.}</tex><br>
рассмотрим <tex>y(x) = y_1(x) + z(x)</tex>. <tex>\alpha(y) = \alpha(y_1 + z) = \alpha(y_1) + \alpha(z)</tex>. Но <tex>\alpha(y_1) = f(x) \Rightarrow</tex> <br>
<tex>f(x) = f(x) + \alpha(z) \Rightarrow \alpha(z) = 0</tex>. Значит y - действительно общее решение <tex>\alpha(y) = f(x)</tex>
}}
