54
правки
Изменения
м
{{TODO|t=Это ничего еще не доказывает, мы показали единственность определения <tex> f </tex> таким образом, но надо также показать, что любой другой линейный функционал, удовлетворяющий условиям теоремы, будет совпадать с <tex> f </tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 15:29, 18 января 2013 (GST)}}
*<tex>\implies</tex>:
Ссылочки:== Ссылки ==
Нет описания правки
2. Симметричность: <tex>x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1</tex>
3. Транзитивность: <tex>x_2 x_1 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3</tex>
{{Определение
<tex> [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} </tex> — '''классы смежности''' по <tex>Y</tex>.
<tex> X /_Y </tex> — совокупность всех классов классов смежности — '''фактор-множество''' по <tex>Y</tex>.
}}
|proof=
[http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8B Более подробно]
Рассмотрим <tex>x_0 \in X : f(x_0) \not = 0 </tex>. Возьмем <tex>\forall x \in X</tex>, подберем <tex>\alpha</tex> такое, чтобы <tex>y = x - \alpha x_0 \in \mathrm{Ker}\, f</tex>.
<tex>f (x - \alpha x_0) = 0 \implies f(x) = \alpha f(x_0), \quad f(x_0) \not = 0 \implies \alpha = \frac{f(x)}{f(x_0)} </tex>. Предстваление Представление единственно: пусть есть два представления <tex>x = \alpha x_0 + y</tex> и <tex>x = \beta x_0 + y'</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) x_0 + (y - y') = 0</tex>. Применим к обеим частям <tex>f</tex>, тогда <tex>(\beta - \alpha) f(x_0) + f(y - y') = f(0)</tex>, так как <tex> y - y' </tex> в ядре, получили <tex> f(x_0) = 0</tex>, то есть протипоречиепротиворечие. Нашли единственное представление, следовательно, [[Линейные функционалы#codimeqn|по предыдущему утверждению]], <tex>\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 </tex>.
}}
Для непрерывности надо превратить <tex>X</tex> в ТВП. Наиболее важный случай — когда <tex>X</tex> является НП.
Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.
== Непрерывность функционала ==
Таким образом, предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.
Покажем, что <tex> \widetilde f </tex> — линейный и удовлетворяет условию теоремы:
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1, x \in Y</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
* единственность: любой функционал <tex>g</tex>, удовлетворяющий условию теоремы, непрерывен, а значит из <tex>y_n \rightarrow x</tex> следует <tex>g(y_n) \rightarrow g(x)</tex>, но <tex>y_n \in Y \Rightarrow g(y_n) = f(y_n)</tex>, то есть <tex>g(x) = \lim f(y_n)</tex>, то есть такой функционал может определяться только формулой выше.
}}
<tex>f</tex> — ограничен <tex>\iff \mathrm{Ker}\, f</tex> — замкнуто в <tex>X</tex>.
|proof=
<tex>f</tex> — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:<br>
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f</tex>, все <tex>f(x_n) = 0</tex>, значит, и <tex>f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f</tex>
то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей подпоследовательностей <tex>\implies</tex> ядро замкнуто.* <tex>\Leftarrow Longleftarrow </tex>:
{{TODO|t=тут была какая-то непонятная хрень, запилил хорошее доказательство с [http://en.wikibooks.org/wiki/Functional_Analysis/Banach_spaces английской википедии]}}
}}
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space Quotient space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) Quotient space (linear algebra)]
