1632
правки
Изменения
м
{{TODO|t=Это еще не все, надо также показать, что * единственность: любой другой линейный функционал<tex>g</tex>, удовлетворяющий условиям условию теоремы, будет совпадать с непрерывен, а значит из <tex>y_n \rightarrow x</tex> следует <tex>g(y_n) \rightarrow g(x)</tex>, но <tex> y_n \in Y \Rightarrow g(y_n) = f (y_n)</tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 15:29, 18 января 2013 то есть <tex>g(GSTx)}}= \lim f(y_n)</tex>, то есть такой функционал может определяться только формулой выше.
rollbackEdits.php mass rollback
2. Симметричность: <tex>x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1</tex>
3. Транзитивность: <tex>x_2 x_1 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3</tex>
{{Определение
Для непрерывности надо превратить <tex>X</tex> в ТВП. Наиболее важный случай — когда <tex>X</tex> является НП.
Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.
== Непрерывность функционала ==
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1, x \in Y</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
}}
