Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Линейные функционалы

318 байт убрано, 13:37, 13 января 2013
fix
* <tex>\widetilde f (\alpha x) = \lim f(\alpha y_n) = \lim \alpha f(y_n) = \alpha \lim f(y_n) = \alpha \widetilde f(x)</tex>
* <tex>\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)</tex><tex> = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')</tex>
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность. Пусть в какой-то точке <tex>\widetilde f(x)</tex> не ограничен, но это значило бы, что для <tex>y_n \to x</tex>: <tex>\forall n \exists m: f(y_m) > n</tex>, что означало бы, что функционал <tex>f</tex> не ограничен на <tex>Y</tex>, то есть противоречие.
* сужение: покажем, что <tex>\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)</tex>, как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к <tex>y</tex>, тогда возьмем последовательность, состоящую только из <tex>y</tex>, очевидно, она сходится к <tex>y</tex> и значения функционалов совпадают
* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.
* непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным
}}
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space Quotient space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra) Quotient space (linear algebra)]
/tex>
то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей

Навигация