Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Линейные функционалы

82 байта убрано, 19:52, 3 января 2013
м
Непрерывность функционала
Пусть <tex>X</tex> ­— нормированное пространство. Линейный функционал <tex> f \in X^* </tex> {{---}} '''непрерывен''' в точке <tex> x </tex>, если
<tex>x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) </tex>.
 
}}
|statement= Линейный функционал <tex>f</tex> непрерывен <tex> \iff </tex> <tex>f</tex> непрерывен в нуле.
|proof=
 
Рассмотрим <tex> x_n \to 0 </tex>. <tex> f(x_n) \to f(0) = 0 </tex>. Проверим непрерывность <tex>f</tex>:
<tex>f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x) </tex>
 
}}
Обозначение <tex> \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} </tex>
Введем норму в <tex> X^* </tex>:  <tex> \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup_{\| x \| \leq 1} {| f(x) |} </tex>.
{{Определение
|definition=
<tex> f </tex> ­— '''ограниченный''' функционал, если <tex> \| f \| < \infty </tex>.
 
}}
 
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
1302
правки

Навигация