Изменения

{{Определение| id=cellularautomaton|definition='''Клеточным автоматом''' (КА) (англ. ''cellular automaton'') <tex>A</tex> размерности <tex>d</tex> называется четверка <tex><\langle {Z^d}, S, N, \delta>\rangle</tex>, где

* <tex>N</tex> {{---}} конечное упорядоченное подмножество <tex>Z^d</tex>, <tex>N=\{{n_j}|\mid {n_j}=(x_{1_j}, \dots, x_{d_j}), j \in \{1 \dots n\}\}</tex>, называемое '''окрестностью''' (англ. ''neighborhood'') <tex>A</tex>. В данном определении полагается, что клетка всегда принадлежит своей окрестности.* <tex>\delta : S^{n+1} \rightarrow S</tex> {{---}} функция перехода для <tex>A</tex>.

'''Линейным клеточным автоматом''' (ЛКА) (англ. ''linear cellular automaton'') называется одномерный клеточный автомат, окрестность каждой клетки которого состоит из <tex>2 \cdot r + 1</tex> клеток,

'''КонфигурациейСостоянием покоя''' (configuratonангл. ''quiescent state'') называется такое состояние автомата клетки <tex>c_ic</tex> КА называется распределение состояний автоматов по клеточному пространству, где что если автоматы клетки <tex>ic</tex>--- шаги всех ее соседей (клеток из ее окрестности) находятся в состояниях покоя, после которого была получена конфигурация. Начальная конфиграция---то автомат <tex>c_0c</tex>на следующем шаге останется в текущем состоянии.

'''ПоддержкойСпокойной клеткой''' (supportангл. ''quiescent cell'') конфигурации <tex>c</tex> называется множество неспокойных клеток назовем клетку, автомат в ней. Обозначается <tex>sup(c)</tex>которой перешел в состояние покоя.

Конфигурация называется '''пассивнойКонфигурацией''' (passiveангл. ''configuraton'')<tex>c_i</tex> КА называется распределение состояний автоматов по клеточному пространству, где <tex>i</tex> {{---}} шаг, если после которого была получена конфигурация. Начальная конфиграция {{---}} <tex>c = sup(c)c_0</tex>.

Конфигурации называются '''непересекающимисяПоддержкой''' (disjointангл. ''support'') конфигурации <tex>c</tex> называется множество неспокойных клеток в ней. Обозначается <tex>sup(c), если их поддержки не пересекаются как множества</tex>.

{{УтверждениеЛемма

|proof=Так как окрестность каждой клетки конечна и размер автомата в клетке конечен, то всего существует конечное число автоматов. Обозначим их множество как <tex>D</tex>. Построим автомат <tex>B</tex> следующим образом: множеством вершин <tex>B</tex> будет объединение множеств вершин автоматов из <tex>D</tex>, переходы между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> будет будут совпадать с переходами <tex>D_i</tex>, если <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соответствуют вершинам из <tex>D_i</tex>, иначе переход отсутствует. Начальным состоянием автомата будет состояние,соответствующее начальному состоянию автомата <tex>D_k</tex>, который был записан в текущей клетке. Очевидно, что поведение такого автомата будет совпадать с поведением <tex>D_k</tex>.

{{ЛеммаТеорема|statement= Для произвольной <tex>(m, n)</tex> машины Тьюринга <tex>T</tex> существует двумерный КА с окрестностью из семи клеток и клеточным пространством <tex>Z_T</tex> с <tex>max(n + 1, m + 1)</tex> состояниями, симулирующий ее в реальном времени.|proof=[[Изображение:Mpneighbour.jpg|thumb|right|comment|Рис. 1. Окрестность клетки]] Каждому состоянию автомата клетки будет сопоставляться либо состояние автомата МТ, либо символ на ленте. Все клетки будут либо клетками ленты, расположенными в одном ряду, и в этом случае их состояние соответствует символу на ленте МТ, либо служебными клетками. Среди служебных клеток клетка <tex>h</tex> будет соответствовать головке MT и в каждый момент находиться над какой-то клеткой ленты, клетки <tex>a</tex> и <tex>b</tex> всегда будут указывать на клетки слева и справа от <tex>h</tex>. Остальные клетки будут находиться в состоянии покоя.  Заметим, что это порождает следующую проблему: размер входных данных МТ конечен, следовательно поддержка начальной конфигурации конечна. Так как МТ в общем случае может не остановиться, то в какой-то момент может потребоваться расширить ленту. Поэтому необходимо ввести две дополнительных служебных клетки, при необходимости расширяющих ленту влево или вправо (то есть переводящих соседнюю слева/справа клетку в свое состояние, а сами переходящие в состояние, соответствующее пустой клетке ленты МТ).  Построим окрестность, необходимую для корректной работы такого КА. Рассмотрев поведение МТ и зависимости клеток КА, получим, что минимальная по размеру окрестность имеет вид, представленный на Рис. 1. [[Изображение:Mptape.jpg|640px|thumb|center|Рис. 2. Эмуляция ленты МТ в КА]] Также определим в каждой клетке состояние <tex>w</tex>, соответствующее начальному состоянию МТ. Перед началом эмуляции клетки ленты переведем в состояния эквивалентные входным символам, клетку над самой левой непустой клеткой ленты переведем в состояние <tex>w</tex>, которая будет соответствовать начальному положению головки. Тогда клетки ленты будут менять свои состояние так же, как лента МТ.}} {{Теорема|statement=Для произвольной <tex>(m, n)</tex> машины Тьюринга существует линейный КА с окрестность не более, чем из шести клеток, <tex>max(m + 1, n + 1)</tex> состояниями, эмулирующий эту МТ в реальном времени.|proof=Лента будет иметь следующий вид:[[Изображение:Mplintape.jpg|640px|thumb|center|Рис. 4. Эмуляция ленты МТ в ЛКА]]Доказательство и построение автомата аналогично предыдущей теореме. }} {{Теорема|statement=Для произвольного ЛКА можно построить эмулирующую его машину Тьюринга.|proof=Пусть эмулируется ЛКА с окрестностью радиуса <tex>d</tex> (из <tex>2d + 1</tex> клетки). Пусть в автомате клетки всего <tex>n</tex> состояний. Сопоставим каждому состоянию алфавита МТ, так что состояние покоя будет отображаться в пустую клетку ленты. Дополнительно введем символы-терминалы, указывающие на то, что соответствующие клетке ленты автоматы еще находятся в состояниях покоя. С точки зрения ЛКА клетки с терминалами будут считаться пустыми. Автомат МТ будет иметь <tex>O(n^{2d+1})</tex> состояний {{---}} по состоянию для каждой возможной окрестности клетки, а также состояния, обеспечивающие правильную эмуляцию. Исходное состояние ленты МТ имеет следующий вид: отрезок, содержащий все клетки, эквивалентные неспокойным клеткам автомата, ограниченный с концов терминалами. Эмуляция каждой фазы ЛКА будет происходить следующим образом: головка будет сдвигаться до левого терминала, затем еще на <tex>d</tex> влево. Затем левый терминал будет переноситься на <tex>d</tex> клеток влево, а для каждой клетки правее нового положения левого терминала будет запоминаться ее окрестность, затем будет изменяться ее состояние соответственно поведению ЛКА. И так для всех клеток, пока не встретится правый терминал. В этом случае необходимо перенести его на <tex>d</tex> клеток вправо и продолжить менять клетки до его следующего вхождения. Затем перейти к следующей фазе. Такая МТ будет эмулировать заданный ЛКА.