Изменения

{{Определение| id=cellularautomaton|definition='''Клеточным автоматом''' (КА) (англ. ''cellular automaton'') <tex>A</tex> размерности <tex>d</tex> называется четверка <tex> \langle {Z^d}, S, N, \delta \rangle</tex>, где

* <tex>N</tex> {{---}} конечное упорядоченное подмножество <tex>Z^d</tex>, <tex>N=\{{n_j}|\mid {n_j}=(x_{1_j}, \dots, x_{d_j}), j \in \{1 \dots n\}\}</tex>, называемое '''окрестностью''' (англ. ''neighborhood'') <tex>A</tex>. В данном определении полагается, что клетка всегда принадлежит своей окрестности.* <tex>\delta : S^{n+1} \rightarrow S</tex> {{---}} функция перехода для <tex>A</tex>.

'''Линейным клеточным автоматом''' (ЛКА) (англ. ''linear cellular automaton'') называется одномерный клеточный автомат, окрестность каждой клетки которого состоит из <tex>2 \cdot r + 1</tex> клеток,

'''Состоянием покоя''' (англ. ''quiescent state'') называется такое состояние автомата клетки<tex>c</tex>, что если клетка автоматы клетки <tex>c</tex> и все всех ее соседи соседей (клеток из ее окрестности) находятся в состояниях покоя, то они автомат <tex>c</tex> на следующем шаге останется в них останутсятекущем состоянии.

'''Спокойной клеткой''' (англ. ''quiescent cell'') назовем клетку, автомат в которой перешел в состояние покоя.

'''Конфигурацией''' (англ. ''configuraton'') <tex>c_i</tex> КА называется распределение состояний автоматов по клеточному пространству, где <tex>i</tex>{{--- }} шаг, после которого была получена конфигурация. Начальная конфиграция{{---}} <tex>c_0</tex>.

'''Поддержкой''' (англ. ''support'') конфигурации <tex>c</tex> называется множество неспокойных клеток в ней. Обозначается <tex>sup(c)</tex>.

|proof=Так как окрестность каждой клетки конечна и размер автомата в клетке конечен, то всего существует конечное число автоматов. Обозначим их множество как <tex>D</tex>. Построим автомат <tex>B</tex> следующим образом: множеством вершин <tex>B</tex> будет объединение множеств вершин автоматов из <tex>D</tex>, переходы между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> будет будут совпадать с переходами <tex>D_i</tex>, если <tex>u</tex> и <tex>v</tex> соответствуют вершинам из <tex>D_i</tex>, иначе переход отсутствует. Начальным состоянием автомата будет состояние,соответствующее начальному состоянию автомата <tex>D_k</tex>, который был записан в текущей клетке. Очевидно, что поведение такого автомата будет совпадать с поведением <tex>D_k</tex>.

Для произвольной <tex>(m, n) </tex> машины Тьюринга <tex>T</tex> существует двумерный КА с окрестностью из семи клеток и клеточным пространством <tex>Z_T</tex> с <tex>max(n + 1, m + 1)</tex> состояниями, симулирующий ее в реальном времени.

[[Изображение:NeighbourhoodMpneighbour.jpg|thumb|right|comment|Рис. 1. Окрестность клетки]] Каждая клетка <tex>Z_T</tex> обладает множеством <tex>Q</tex> из <tex>M = max(n + 1Каждому состоянию автомата клетки будет сопоставляться либо состояние автомата МТ, m + 1)</tex> состоянийлибо символ на ленте. Без потери общностиВсе клетки будут либо клетками ленты, будем считатьрасположенными в одном ряду, что <tex>Q = \{ 0и в этом случае их состояние соответствует символу на ленте МТ, 1, \dots , M - 1\}либо служебными клетками. Среди служебных клеток клетка </tex>, так что <tex>(i + 1)h</tex> будет сопоставляться символу <tex>x_i</tex> машины Тьюринга при <tex>0 \le i \le m соответствовать головке MT и в каждый момент находиться над какой- 1</tex>то клеткой ленты, а состояние клетки <tex>(j + 1)a</tex> будет соответствовать состоянию и <tex>q_jb</tex> машины Тьюринга при всегда будут указывать на клетки слева и справа от <tex>0 \le j \le n - 1h</tex>. Ноль является состоянием Остальные клетки будут находиться в состоянии покоя <tex>Z_T</tex> и не будет соответствовать символам и состояниям машины Тьюринга. Окрестность построим таким образом Заметим, чтобы выделять клеткучто это порождает следующую проблему: размер входных данных МТ конечен, состояние которой <tex>Q_1 \in A = \{ 1следовательно поддержка начальной конфигурации конечна. Так как МТ в общем случае может не остановиться, 2то в какой-то момент может потребоваться расширить ленту. Поэтому необходимо ввести две дополнительных служебных клетки, \dots, m\}<при необходимости расширяющих ленту влево или вправо (то есть переводящих соседнюю слева/tex> будет соответствовать символу машины Тьюринга из клеткисправа клетку в свое состояние, а сами переходящие в состояние которой <tex>Q_2 \in B = \{ 1, 2соответствующее пустой клетке ленты МТ).  Построим окрестность, необходимую для корректной работы такого КА. Рассмотрев поведение МТ и зависимости клеток КА, \dotsполучим, n\}</tex> соответствует состоянию машины Тьюринга (что минимальная по размеру окрестность клетки в таком КА показана имеет вид, представленный на Рис. 1).  [[Изображение:Mptape.jpg|640px|thumb|center|Рис. 2. Эмуляция ленты МТ в КА]]

Таким образом, Также определим в каждой клетке состояние <tex>Z_Tw</tex> симулирует машину Тьюринга, используя конфигурацию, в которой оно <tex>"</tex>выглядит как<tex>"</tex> машина Тьюрингасоответствующее начальному состоянию МТ. Один ряд клеток в <tex>Z_T</tex> представляет из себя ленту машины Тьюринга - одна клетка <tex>Z_T</tex> для каждой Перед началом эмуляции клетки лентыпереведем в состояния эквивалентные входным символам, а одна клетка из соседнего ряда будет соответствовать головке МТ, и клетку над самой левой непустой клеткой ленты переведем в каждый момент времени автомат будет выглядеть так, как показано на рисунке ниже. Клетки <tex>a</tex> и <tex>b</tex> всегда указывают на клетки слева и справа от головки <tex>h</tex> соответственно. Все остальные символы используются для хранения состояний: <tex>S_k \in A</tex> обозначает состояние клетки ленты на расстоянии <tex>|k|w</tex> от головки по направлению знака индекса, <tex>P \in B</tex> обозначает состояние головки. Клетки справа и слева от которая будет соответствовать начальному положению головки обозначим <tex>C_R</tex> и <tex> C_L</tex>, которые будут определять правый или левый конец использованной ленты. Все Тогда клетки кроме <tex>h</tex> и клеток ленты будут находится в состоянии покоя нольменять свои состояние так же, как лента МТ. }}

Таким образом, при симуляции головка {{Теорема|statement=Для произвольной <tex>h(m, n)</tex> будет двигатьсямашины Тьюринга существует линейный КА с окрестность не более, повторяя поведение головки соответствующей МТчем из шести клеток, при этом менять состояние будут только клетки <tex>amax(m + 1, h, b, C_R, C_Ln + 1)</tex>состояниями, для которых необходимо определить функции переходаэмулирующий эту МТ в реальном времени. Обозначим для них функцию перехода: если <tex>x_u, q_v</tex> - символ на ленте и состояние МТ, то переход |proof=Лента будет иметь следующий вид :[[Изображение:Mplintape.jpg|640px|thumb|center|Рис. 4. Эмуляция ленты МТ в ЛКА]]Доказательство и построение автомата аналогично предыдущей теореме. }} {{Теорема|statement=Для произвольного ЛКА можно построить эмулирующую его машину Тьюринга.|proof=Пусть эмулируется ЛКА с окрестностью радиуса <tex>(x_u, q_v) = {x_p}X/q_qd</tex>, где (из <tex>X2d + 1</tex> - сдвиг влево клетки). Пусть в автомате клетки всего <tex>Ln</tex> или вправо состояний. Сопоставим каждому состоянию алфавита МТ, так что состояние покоя будет отображаться в пустую клетку ленты. Дополнительно введем символы-терминалы, указывающие на то, что соответствующие клетке ленты автоматы еще находятся в состояниях покоя. С точки зрения ЛКА клетки с терминалами будут считаться пустыми. Автомат МТ будет иметь <tex>RO(n^{2d+1})</tex>состояний {{---}} по состоянию для каждой возможной окрестности клетки, а также состояния, обеспечивающие правильную эмуляцию. Исходное состояние ленты МТ имеет следующий вид: отрезок, содержащий все клетки, эквивалентные неспокойным клеткам автомата, ограниченный с концов терминалами. Состояния Эмуляция каждой фазы ЛКА будет происходить следующим образом: головка будет сдвигаться до левого терминала, затем еще на <tex>C_Ld</tex> и влево. Затем левый терминал будет переноситься на <tex>C_Rd</tex> необходимы клеток влево, а для решения проблемы конца ленты: в общем случае машина Тьюринга работает с бесконечной лентойкаждой клетки правее нового положения левого терминала будет запоминаться ее окрестность, в то время как поддержка начальной конфигурации построенного автомата конечназатем будет изменяться ее состояние соответственно поведению ЛКА. И так для всех клеток, и в некоторый момент пустые состояния закончатсяпока не встретится правый терминал. Чтобы этого не произошло, введены В этом случае необходимо перенести его на <tex>C_Ld</tex> клеток вправо и <tex>C_R</tex>, которые переводят спокойные продолжить менять клетки в состояния, соответствующие пустым символам ленты до его следующего вхождения. Затем перейти к следующей фазе. Такая МТбудет эмулировать заданный ЛКА.

[[Изображение:TapeИз доказанных выше теорем следует, что линейный клеточный автомат и машина Тьюринга эквивалентны.jpg|640px|thumb|center|Рис. 2. Эмуляция ленты МТ в КА]]

[[Изображение:Transit== Источники информации ==* ''A.jpg|640px|thumb|center|РисR. Smith III'' {{---}} '''Simple Computation-Universal Cellular Spaces''', Journal of Association for Computing Machinery, Vol. 18, No. 3, July 1971.* ''M. Delorme'' {{---}} '''An Introduction to Cellular Automata''', July 1998. Функция перехода]]