Редактирование: Линейный оператор

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
==Линейный оператор==
 
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{---}} линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:
+
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>A:X \rightarrow Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:
* <tex>\mathcal{A}(x_1+x_2)=\mathcal{A}(x_1)+\mathcal{A}(x_2)</tex>
+
* <tex>A(x_1+x_2)=A(x_1)+A(x_2)</tex>
* <tex>\mathcal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mathcal{A}(x_1)</tex>
+
* <tex>A(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot A(x_1)</tex>
 
}}
 
}}
  
 +
NB: Гоморфизм
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Линейный оператор <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> называется автоморфизмом (или гомоморфизмом).
+
|definition=л.о. A:X \rightarrow X называется автоморфизмом.
 
}}
 
}}
{{Nota Bene|notabene=<tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{A}x</tex>}}
+
NB: <tex>A(x) = Ax</tex>
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\mathcal{A},\mathcal{B}\colon X \to Y</tex><br>
+
|definition=<tex>A,B:X \rightarrow Y</tex>, <tex>A=B</tex>, если <tex>\forall x \in X:Ax = Bx</tex>
<tex>\mathcal{A}=\mathcal{B}</tex>, если <tex>\forall x \in X:\mathcal{A}x = \mathcal{B}x</tex>
 
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal{O}</tex> называется нулевым оператором, если <tex>\forall x, y \in X : \mathcal{O}x=\mathcal{O}y</tex>
+
|definition=<tex>O</tex> называется нулевым оператором, если <tex>\forall x \in X:Ox=Oy</tex>
 
}}
 
}}
 
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
 
=== Тождественный оператор ===
 
=== Тождественный оператор ===
<tex>I \colon X \to X</tex>  по формуле <tex>Ix=x</tex>
+
<tex>I:X \rightarrow X</tex>  по формуле <tex>Ix=x</tex>
 
 
 
=== Линейный оператор проектирования ===
 
=== Линейный оператор проектирования ===
<tex>X=L_1 + L_2</tex>
+
<tex>X=L1 + L2</tex>
 
 
<tex>\mathcal{P}_{L_1}^{||L_2} \colon X \to L_1</tex>
 
  
<tex>\mathcal{P}_{L_2}^{||L1} \colon X \to L_2</tex>
+
<tex>P_{L_1}^{||L_2}:X \rightarrow L_1</tex>
  
NB: <tex>\mathcal{P}_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}\colon X \to X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> {{---}} п.п. <tex>X</tex>)
+
<tex>P_{L_2}^{||L1}:X->L_2</tex>
  
 +
NB: <tex>P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \rightarrow X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> - п.п. <tex>X</tex>)
 
=== Оператор дифференцирования ===
 
=== Оператор дифференцирования ===
Пусть <tex>X=P_n</tex>
+
Пусть <tex>X=P_n; D:P_n \rightarrow P_{n-1}</tex>
 
+
по формуле <tex>(Dp)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)</tex>
<tex>\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}</tex> по формуле <tex>(\mathcal{D}p)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)</tex>
 
 
 
 
=== Интегральный оператор ===
 
=== Интегральный оператор ===
Пусть <tex>X = C(a,b); K(s,t)</tex> - непрерывная функция; <tex> s \in (a,b); t \in (a,b)</tex>
+
Пусть <tex>X=C(a,b)</tex>
 
+
<tex>K(s,t)</tex>
<tex>(\mathcal{B}f)(s) = \int\limits_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt</tex>
+
<tex>s \in (a,b)</tex>
 
+
<tex>t \in (a,b)</tex>
<tex>\mathcal{B} \colon C(a,b) \to C(a,b)</tex>
 
 
 
== Матрица линейного оператора ==
 
Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y</tex>
 
 
 
Пусть п.п. <tex>X \leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, \dim X=n</tex>
 
 
 
Пусть п.п. <tex>Y \leftrightarrow \{h_i\}_{i=1}^m, \dim Y = m</tex>
 
 
 
<tex>\underset{1\leq k\leq n}{\mathcal{A}e_k}=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i \Rightarrow A=||\alpha_k^i||</tex>, где <tex>1\leq i\leq m, 1 \leq k \leq n</tex>
 
 
 
<tex>
 
A=
 
\begin{pmatrix}
 
\alpha_1^1 & \cdots & \alpha_n^1 \\
 
\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^2 \\
 
\cdots & \cdots & \cdots \\
 
\alpha_1^m & \cdots & \alpha_n^m \\
 
\end{pmatrix}
 
</tex>
 
 
 
{{Nota Bene|notabene=Обратите внимание, что <tex>\mathcal{A}</tex> означает оператор, а <tex>A</tex> {{---}} матрицу этого оператора.}}
 
 
 
== Примеры ==
 
=== Нулевой оператор ===
 
<tex>
 
\mathcal{O}_{[m \times n]}=
 
\begin{pmatrix}
 
0 & \cdots & 0 \\
 
\cdots & \cdots & \cdots \\
 
0 & \cdots & 0 \\
 
\end{pmatrix}
 
</tex>
 
 
 
=== Оператор дифференцирования ===
 
<tex>\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}</tex>
 
 
 
<tex>\{1,t,t^2,...,t^n\}</tex> - базис <tex>P_n</tex>
 
 
 
<tex>
 
D=
 
\begin{pmatrix}
 
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 
0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
 
0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\
 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\
 
0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\
 
\end{pmatrix}
 
</tex>
 
 
 
==Теорема об эквивалентности задания линейного оператора==
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Задание Л.О. <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y \Leftrightarrow </tex> заданию его матрицы в паре базисов <tex>\{x_i\}_{i=1}^{n}</tex> и <tex>\{h_k\}_{k=1}^{m}</tex>
 
|proof=
 
<tex> \Rightarrow \mathcal{A} = \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{k}^{i}h_k </tex> (единственным образом) <tex> \Rightarrow A=||\alpha_k^i||</tex>, где <tex>1\leq i\leq n, 1 \leq k \leq m</tex>
 
 
 
<tex> \Leftarrow x= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i e_i </tex> (единственным образом)
 
 
 
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}x= \mathcal{A}(\sum\limits_{i=1}^{n} \xi^ie_i)= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \mathcal{A}e_i= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{i}^{k}h_k=\sum\limits_{k=1}^{m}(\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i)h_k </tex> (1)
 
  
<tex>\mathcal{A}x=y=\sum\limits_{k=1}^{m} \eta^kh_k </tex> (2)
+
<tex>(Bf)(s) = integral_a^b K(s,t) \cdot f(t) \ cdot dt</tex>
 
 
из (1) и (2) получим, что <tex>\eta^k=\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i \Leftrightarrow A \cdot X= Y</tex> (умножение матриц), тогда <tex>\mathcal{A}x=y</tex>
 
}}
 
  
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
+
<tex>B:C(a,b) \rightarrow C(a,b)</tex>
[[Категория: Линейные операторы]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)