390
правок
Изменения
м
NB: Гомоморфизм
NB: {{Nota Bene|notabene=<tex>\mathcal{A}(x) = Ax\mathcal{A}x</tex>}}
O_\mathcal{O}_{[m \times n]}=
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
→Интегральный оператор: fixed integral index
==Линейный оператор==
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{- --}} линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>\mathcal{A:} \colon X \rightarrow to Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:* <tex>\mathcal{A}(x_1+x_2)=\mathcal{A}(x_1)+\mathcal{A}(x_2)</tex>* <tex>\mathcal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mathcal{A}(x_1)</tex>
}}
{{Определение
|definition=Линейный оператор <tex>\mathcal{A:} \colon X \rightarrow to X</tex> называется автоморфизмом(или гомоморфизмом).
}}
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\mathcal{A},\mathcal{B:}\colon X \rightarrow to Y</tex>, <br><tex>\mathcal{A}=\mathcal{B}</tex>, если <tex>\forall x \in X:Ax \mathcal{A}x = Bx\mathcal{B}x</tex>
}}
{{Определение
|definition=<tex>\mathcal{O}</tex> называется нулевым оператором, если <tex>\forall x , y \in X:Ox\mathcal{O}x=Oy\mathcal{O}y</tex>
}}
== Примеры ==
=== Тождественный оператор ===
<tex>I:\colon X \rightarrow to X</tex> по формуле <tex>Ix=x</tex>
=== Линейный оператор проектирования ===
<tex>X=L1 L_1 + L2L_2</tex>
<tex>P_\mathcal{P}_{L_1}^{||L_2}:\colon X \rightarrow to L_1</tex>
<tex>P_\mathcal{P}_{L_2}^{||L1}:\colon X \rightarrow to L_2</tex>
NB: <tex>P_\mathcal{P}_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:\colon X \rightarrow to X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> {{- --}} п.п. <tex>X</tex>)
=== Оператор дифференцирования ===
Пусть <tex>X=P_n; </tex> <tex>\mathcal{D:} \colon P_n \rightarrow to P_{n-1}</tex>по формуле <tex>(Dp\mathcal{D}p)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)</tex>
=== Интегральный оператор ===
Пусть <tex>X=C(a,b)</tex><tex>; K(s,t)</tex>- непрерывная функция; <tex>s \in (a,b)</tex><tex>; t \in (a,b)</tex>
<tex>(Bf\mathcal{B}f)(s) = integral_a\int\limits_a^b K(s,t) \cdot f(t) \ cdot dt</tex>
<tex>\mathcal{B:} \colon C(a,b) \rightarrow to C(a,b)</tex>
== Матрица линейного оператора ==
Пусть <tex>\mathcal{A:} \colon X->\to Y</tex>
Пусть п.п. <tex>X \leftarrow leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, \dim X=n</tex>
Пусть п.п. <tex>Y \leftarrow leftrightarrow \{h_i\}_{i=1}^m, \dim Y = m</tex>
<tex>m != \underset{1\leq k\leq n</tex> <tex>Ae_k}{\mathcal{A}e_k}=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i = \Rightarrow A=||\alpha_k^i||(k=</tex>, где <tex>1\leq i\leq m,...,1 \leq k \leq n)</tex>
<tex>
\end{pmatrix}
</tex>
{{Nota Bene|notabene=Обратите внимание, что <tex>\mathcal{A}</tex> означает оператор, а <tex>A</tex> {{---}} матрицу этого оператора.}}
== Примеры ==
=== Нулевой оператор ===
<tex>
\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
=== Оператор дифференцирования ===
<tex>\mathcal{D:} \colon P_n \rightarrow to P_{n-1}</tex>
<tex>\{1,t,t^2,...,t^n\}</tex> - базис <tex>P_n</tex>
<tex>
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\
\end{pmatrix}
</tex>
==Теорема об эквивалентности задания линейного оператора==
{{Теорема
|statement=
Задание Л.О. <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y \Leftrightarrow </tex> заданию его матрицы в паре базисов <tex>\{x_i\}_{i=1}^{n}</tex> и <tex>\{h_k\}_{k=1}^{m}</tex>
|proof=
<tex> \Rightarrow \mathcal{A} = \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{k}^{i}h_k </tex> (единственным образом) <tex> \Rightarrow A=||\alpha_k^i||</tex>, где <tex>1\leq i\leq n, 1 \leq k \leq m</tex>
<tex> \Leftarrow x= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i e_i </tex> (единственным образом)
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}x= \mathcal{A}(\sum\limits_{i=1}^{n} \xi^ie_i)= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \mathcal{A}e_i= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{i}^{k}h_k=\sum\limits_{k=1}^{m}(\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i)h_k </tex> (1)
<tex>\mathcal{A}x=y=\sum\limits_{k=1}^{m} \eta^kh_k </tex> (2)
из (1) и (2) получим, что <tex>\eta^k=\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i \Leftrightarrow A \cdot X= Y</tex> (умножение матриц), тогда <tex>\mathcal{A}x=y</tex>
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Линейные операторы]]
