Линейный оператор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 22 промежуточные версии 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
==Линейный оператор==
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> - линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>A:X \rightarrow Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:
+
|definition=Пусть <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{---}} линейные пространства над полем <tex>F</tex>. Отображение <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y</tex> называется линейным оператором, если <tex>\forall x_1,x_2 \in X</tex>, <tex>\forall \lambda \in F</tex>:
* <tex>A(x_1+x_2)=A(x_1)+A(x_2)</tex>
+
* <tex>\mathcal{A}(x_1+x_2)=\mathcal{A}(x_1)+\mathcal{A}(x_2)</tex>
* <tex>A(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot A(x_1)</tex>
+
* <tex>\mathcal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mathcal{A}(x_1)</tex>
 
}}
 
}}
  
NB: Гомоморфизм
 
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Линейный оператор <tex>A:X \rightarrow X</tex> называется автоморфизмом.
+
|definition=Линейный оператор <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> называется автоморфизмом (или гомоморфизмом).
 
}}
 
}}
NB: <tex>A(x) = Ax</tex>
+
{{Nota Bene|notabene=<tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{A}x</tex>}}
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>A,B:X \rightarrow Y</tex>, <tex>A=B</tex>, если <tex>\forall x \in X:Ax = Bx</tex>
+
|definition=Пусть <tex>\mathcal{A},\mathcal{B}\colon X \to Y</tex><br>
 +
<tex>\mathcal{A}=\mathcal{B}</tex>, если <tex>\forall x \in X:\mathcal{A}x = \mathcal{B}x</tex>
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>O</tex> называется нулевым оператором, если <tex>\forall x \in X:Ox=Oy</tex>
+
|definition=<tex>\mathcal{O}</tex> называется нулевым оператором, если <tex>\forall x, y \in X : \mathcal{O}x=\mathcal{O}y</tex>
 
}}
 
}}
 +
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
 
=== Тождественный оператор ===
 
=== Тождественный оператор ===
<tex>I:X \rightarrow X</tex>  по формуле <tex>Ix=x</tex>
+
<tex>I \colon X \to X</tex>  по формуле <tex>Ix=x</tex>
 +
 
 
=== Линейный оператор проектирования ===
 
=== Линейный оператор проектирования ===
<tex>X=L1 + L2</tex>
+
<tex>X=L_1 + L_2</tex>
  
<tex>P_{L_1}^{||L_2}:X \rightarrow L_1</tex>
+
<tex>\mathcal{P}_{L_1}^{||L_2} \colon X \to L_1</tex>
  
<tex>P_{L_2}^{||L1}:X \rightarrow L_2</tex>
+
<tex>\mathcal{P}_{L_2}^{||L1} \colon X \to L_2</tex>
  
NB: <tex>P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \rightarrow X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> - п.п. <tex>X</tex>)
+
NB: <tex>\mathcal{P}_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}\colon X \to X</tex> (<tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> {{---}} п.п. <tex>X</tex>)
  
 
=== Оператор дифференцирования ===
 
=== Оператор дифференцирования ===
Пусть <tex>X=P_n; D:P_n \rightarrow P_{n-1}</tex>
+
Пусть <tex>X=P_n</tex>
по формуле <tex>(Dp)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)</tex>
+
 
 +
<tex>\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}</tex> по формуле <tex>(\mathcal{D}p)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)</tex>
 +
 
 
=== Интегральный оператор ===
 
=== Интегральный оператор ===
Пусть <tex>X = C(a,b); K(s,t); s \in (a,b); t \in (a,b)</tex>
+
Пусть <tex>X = C(a,b); K(s,t)</tex> - непрерывная функция; <tex> s \in (a,b); t \in (a,b)</tex>
  
<tex>(Bf)(s) = \int_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt</tex>
+
<tex>(\mathcal{B}f)(s) = \int\limits_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt</tex>
  
<tex>B : C(a,b) \rightarrow C(a,b)</tex>
+
<tex>\mathcal{B} \colon C(a,b) \to C(a,b)</tex>
  
 
== Матрица линейного оператора ==
 
== Матрица линейного оператора ==
Пусть <tex>A:X->Y</tex>
+
Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to Y</tex>
  
Пусть п.п. <tex>X \leftarrow \{e_k\}_{k=1}^n, dim X=n</tex>
+
Пусть п.п. <tex>X \leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, \dim X=n</tex>
  
Пусть п.п. <tex>Y \leftarrow \{h_i\}_{i=1}^m, dim Y = m</tex>
+
Пусть п.п. <tex>Y \leftrightarrow \{h_i\}_{i=1}^m, \dim Y = m</tex>
  
<tex>m != n</tex>
+
<tex>\underset{1\leq k\leq n}{\mathcal{A}e_k}=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i \Rightarrow A=||\alpha_k^i||</tex>, где <tex>1\leq i\leq m, 1 \leq k \leq n</tex>
 
 
<tex>Ae_k=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i = A=||\alpha_k^i||(k=1,...,n)</tex>
 
  
 
<tex>
 
<tex>
Строка 58: Строка 61:
 
\end{pmatrix}
 
\end{pmatrix}
 
</tex>
 
</tex>
 +
 +
{{Nota Bene|notabene=Обратите внимание, что <tex>\mathcal{A}</tex> означает оператор, а <tex>A</tex> {{---}} матрицу этого оператора.}}
  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
 
=== Нулевой оператор ===
 
=== Нулевой оператор ===
 
<tex>
 
<tex>
O_{[m \times n]}=
+
\mathcal{O}_{[m \times n]}=
 
\begin{pmatrix}
 
\begin{pmatrix}
 
0 & \cdots & 0 \\
 
0 & \cdots & 0 \\
Строка 71: Строка 76:
  
 
=== Оператор дифференцирования ===
 
=== Оператор дифференцирования ===
<tex>D:P_n \rightarrow P_{n-1}</tex>
+
<tex>\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}</tex>
  
<tex>\{1,t,t^2,...,t^n\}</tex>
+
<tex>\{1,t,t^2,...,t^n\}</tex> - базис <tex>P_n</tex>
  
 
<tex>
 
<tex>
Строка 83: Строка 88:
 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\
 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\
 
0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\
 
0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 
 
\end{pmatrix}
 
\end{pmatrix}
 
</tex>
 
</tex>
 +
 +
==Теорема об эквивалентности задания линейного оператора==
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Задание Л.О. <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y \Leftrightarrow </tex> заданию его матрицы в паре базисов <tex>\{x_i\}_{i=1}^{n}</tex> и <tex>\{h_k\}_{k=1}^{m}</tex>
 +
|proof=
 +
<tex> \Rightarrow \mathcal{A} = \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{k}^{i}h_k </tex> (единственным образом) <tex> \Rightarrow A=||\alpha_k^i||</tex>, где <tex>1\leq i\leq n, 1 \leq k \leq m</tex>
 +
 +
<tex> \Leftarrow x= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i e_i </tex> (единственным образом)
 +
 +
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}x= \mathcal{A}(\sum\limits_{i=1}^{n} \xi^ie_i)= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \mathcal{A}e_i= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{i}^{k}h_k=\sum\limits_{k=1}^{m}(\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i)h_k </tex> (1)
 +
 +
<tex>\mathcal{A}x=y=\sum\limits_{k=1}^{m} \eta^kh_k </tex> (2)
 +
 +
из (1) и (2) получим, что <tex>\eta^k=\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i \Leftrightarrow A \cdot X= Y</tex> (умножение матриц), тогда <tex>\mathcal{A}x=y</tex> 
 +
}}
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 +
[[Категория: Линейные операторы]]

Текущая версия на 19:19, 4 сентября 2022

Линейный оператор

Определение:
Пусть [math]X[/math] и [math]Y[/math] — линейные пространства над полем [math]F[/math]. Отображение [math]\mathcal{A} \colon X \to Y[/math] называется линейным оператором, если [math]\forall x_1,x_2 \in X[/math], [math]\forall \lambda \in F[/math]:
  • [math]\mathcal{A}(x_1+x_2)=\mathcal{A}(x_1)+\mathcal{A}(x_2)[/math]
  • [math]\mathcal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mathcal{A}(x_1)[/math]


Определение:
Линейный оператор [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] называется автоморфизмом (или гомоморфизмом).


N.B.:
[math]\mathcal{A}(x) = \mathcal{A}x[/math]


Определение:
Пусть [math]\mathcal{A},\mathcal{B}\colon X \to Y[/math]
[math]\mathcal{A}=\mathcal{B}[/math], если [math]\forall x \in X:\mathcal{A}x = \mathcal{B}x[/math]


Определение:
[math]\mathcal{O}[/math] называется нулевым оператором, если [math]\forall x, y \in X : \mathcal{O}x=\mathcal{O}y[/math]


Примеры

Тождественный оператор

[math]I \colon X \to X[/math] по формуле [math]Ix=x[/math]

Линейный оператор проектирования

[math]X=L_1 + L_2[/math]

[math]\mathcal{P}_{L_1}^{||L_2} \colon X \to L_1[/math]

[math]\mathcal{P}_{L_2}^{||L1} \colon X \to L_2[/math]

NB: [math]\mathcal{P}_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}\colon X \to X[/math] ([math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] — п.п. [math]X[/math])

Оператор дифференцирования

Пусть [math]X=P_n[/math]

[math]\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}[/math] по формуле [math](\mathcal{D}p)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)[/math]

Интегральный оператор

Пусть [math]X = C(a,b); K(s,t)[/math] - непрерывная функция; [math] s \in (a,b); t \in (a,b)[/math]

[math](\mathcal{B}f)(s) = \int\limits_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt[/math]

[math]\mathcal{B} \colon C(a,b) \to C(a,b)[/math]

Матрица линейного оператора

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y[/math]

Пусть п.п. [math]X \leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, \dim X=n[/math]

Пусть п.п. [math]Y \leftrightarrow \{h_i\}_{i=1}^m, \dim Y = m[/math]

[math]\underset{1\leq k\leq n}{\mathcal{A}e_k}=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i \Rightarrow A=||\alpha_k^i||[/math], где [math]1\leq i\leq m, 1 \leq k \leq n[/math]

[math] A= \begin{pmatrix} \alpha_1^1 & \cdots & \alpha_n^1 \\ \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_1^m & \cdots & \alpha_n^m \\ \end{pmatrix} [/math]


N.B.:
Обратите внимание, что [math]\mathcal{A}[/math] означает оператор, а [math]A[/math] — матрицу этого оператора.


Примеры

Нулевой оператор

[math] \mathcal{O}_{[m \times n]}= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

Оператор дифференцирования

[math]\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}[/math]

[math]\{1,t,t^2,...,t^n\}[/math] - базис [math]P_n[/math]

[math] D= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\ \end{pmatrix} [/math]

Теорема об эквивалентности задания линейного оператора

Теорема:
Задание Л.О. [math]\mathcal{A}: X \rightarrow Y \Leftrightarrow [/math] заданию его матрицы в паре базисов [math]\{x_i\}_{i=1}^{n}[/math] и [math]\{h_k\}_{k=1}^{m}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Rightarrow \mathcal{A} = \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{k}^{i}h_k [/math] (единственным образом) [math] \Rightarrow A=||\alpha_k^i||[/math], где [math]1\leq i\leq n, 1 \leq k \leq m[/math]

[math] \Leftarrow x= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i e_i [/math] (единственным образом)

Рассмотрим [math]\mathcal{A}x= \mathcal{A}(\sum\limits_{i=1}^{n} \xi^ie_i)= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \mathcal{A}e_i= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{i}^{k}h_k=\sum\limits_{k=1}^{m}(\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i)h_k [/math] (1)

[math]\mathcal{A}x=y=\sum\limits_{k=1}^{m} \eta^kh_k [/math] (2)

из (1) и (2) получим, что [math]\eta^k=\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i \Leftrightarrow A \cdot X= Y[/math] (умножение матриц), тогда [math]\mathcal{A}x=y[/math]
[math]\triangleleft[/math]