1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
<tex> \Longleftarrow </tex> Пусть теперь <tex>\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>. Тогда <tex>\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=0^m. \Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}</tex>, следовательно, <tex>det \Gamma_0 \ne 0</tex>, поэтому соответствующая однородная система уравнений будет иметь только тривиальные решения и <tex>f(\overline x, \overline y)=0^m</tex>
Пусть <tex>T(\overline x, \overline y) = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>, тогда <tex>\overline y = T(\overline x,\overline y)</tex> для <tex> f(x, y) = 0 </tex>.
Для фиксированного <tex> x </tex> получаем задачу на неподвижную точку для отображения <tex>T</tex> по переменной <tex>\overline y</tex> для фиксированного.
Воспользуемся для решения принципом сжатия Банаха. Существует ли (в определённых начальных данных) коэффициент сжатия?
<tex>T_{\overline y}' = J - \Gamma_0 f_{\overline y}';~\Gamma_0 f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=J</tex>(по определению <tex> \Gamma_0 </tex>. Значит, <tex>T_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=0</tex>.
По условию, <tex>f</tex> зависит от <tex>\overline x, \overline y</tex>, следовательно, <tex>T'</tex> — тоже. Тем самым, в определении непрерывности полагаем <tex> \varepsilon=\frac 12,\exists \delta>0 </tex>
<tex> \| T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \| \le \frac 12 </tex>
Тогда по неравенству Лагранжа <tex>\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \sup\limits_{\overline z \in \{[y',y''\}]}\|T_{\overline y}'(\overline x,\overline z)\|\|\overline y''-\overline y'\|</tex>. Но по выбору шаров этот <tex>\sup \le \frac 12</tex> и, таким образом, в наших условиях <tex>\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \frac 12 \|\overline y''-\overline y'\|</tex>.
<b>2 этап:</b> На первом этапе найден коэффициент сжатия: <tex>\frac 12</tex>. Если проверить для <tex>T</tex> условия теоремы Банаха по <tex>\overline y</tex> в пределах некоторых окрестностей начальных данных, то у <tex>T</tex> окажется единственная неподвижная точка, следовательно, она и будет значением неявного отображения , и теорема будет доказана.
<tex>\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0})</tex>
В результате мы получаем СЛАУ для зависимости дифференциалов. Её матрицей будет матрица Якоби <tex>g'_{\overline y}(\overline x,\overline y)</tex>. Раз она обратима в <tex>(x_0,y_0)</tex>, то по непрерывности она будет обратима в окрестности этой точки, следовательно, <tex>dy</tex> можно выразить через <tex>dx</tex>, формулы будут линейны.
<tex>dy_1=\sum\limits_{j=1}^n A_{1j}dx_j</tex>. Тогда, подставляя эти форулы в <tex>(*)</tex>, получим <tex>\sum\limits_{j=1}^m n B_j dx_j=0 \Rightarrow \forall j : B_j =0 </tex>, так как дифференцируются независимые переменные.
Мы получили систему уравнений для полученных точек, похожих на условный экстремум; которую надо решать вместе с уравнениями связи.
