Локальная теорема о неявном отображении

1) Принцип сжатия Банаха Пусть [math]X[/math] - B-пространство; пусть [math]\overline V[/math] — замкнутый шар в [math]X[/math]; [math]T\colon\overline V \to\overline V[/math]. Оно называется сжатием на этом шаре, если [math]\exists q \in (0;1); \forall x',x'' \in \overline V[/math], такое, что [math]\| Tx''-Tx' \| \le q \|x''-x'\|[/math]

Теорема:

У любого сжимающего отображения существует неподвижная точка [math]x^*=Tx^*.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\forall x_0 \in \overline V x_{n+1}=Tx_n[/math]. Тогда [math]\|x_{n+1}-x_n\|=\|Tx_n-Tx_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\|\le q^n \|x_1-x_0[/math] [math]x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k),\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k, 0\lt q\lt 1.[/math] Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим [math]S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)[/math]. [math]S_n=x_{n+1}[/math]. Если [math] S_n \to S[/math], то [math]x_n \to S[/math]. Но любое сжатие непрерывно. Это позволяет в [math]x_{n+1}=Tx_n[/math] перейти к пределу — [math]S=TS[/math]. Если [math]Tx'=x', Tx''=x''[/math], то составим норму их разности: [math]\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|[/math] и при [math]\|x''-x' \ne 0[/math] [math]q \ge 1[/math] — противоречие. [math]\|x''-x' \|= 0[/math], следовательно, [math]x''=x'[/math].

[math]\triangleleft[/math]

2) [math]\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m[/math]; [math]V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}[/math].
[math]f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m[/math], [math]f(x_0,y_0)=0^m[/math]. Существуют ли такие [math]\delta_1,\delta_2\gt 0[/math], что [math]\forall\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})~\nexists\overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m[/math]?
Если это так, то в силу единственности y определяем [math]\overline y = \phi(\overline x)[/math] на [math]V_{\delta_1}(\overline{x_0})[/math] так, чтобы [math]f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m[/math]. [math]\phi[/math] — неявное отображение, определяется [math]f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m[/math]
Пример, единичная окружность:
[math]x,y\in\mathbb{R},f(x,y)=x^2+y^2-1. f(x,y)=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=1[/math]
В малых окрестностях начальных данных вертикаль, проведённая через [math]x[/math], будет давать соответствующий единственный [math]y[/math]. Если решать задачу вне окрестности [math]y_0[/math], получится 2 [math]y[/math], теряется единственность [math]y[/math]. Именно поэтому крайне важно указывать окрестности, в которых мы ищем отображения. [math]y=\sqrt{1-x^2};y=\pm\sqrt{1-x^2}[/math].
Сейчас мы установим условия, при которых неявное отображение будет существовать:
[math]\overline x=f(\overline x,\overline y). \overline x \in \mathbb R^n;~y,z\in R^m. f_{\overline y}'[/math] — произвольное отображение [math]f[/math], при фиксированном [math]x[/math] и варьирующемся [math]y[/math].