36
правок
Изменения
→Проверка на простоту
{{nohate}}'''Лямбда-исчисление'''(''англ. lambda calculus'') {{---}} формальная система, придуманная в 1930-х годах
Алонзо Чёрчем. Лямбда-функция является, по сути, анонимной функцией.
Эта концепция показала себя удобной и сейчас активно используется во многих
== Лямбда-исчисление==
{{Определение
|definition=
'''Лямбда-выражением''' (англ. <tex>\lambda</tex>''-term'') называется выражение, удовлетворяющее следующей грамматике:<br>
<tex>
\begin{array}{r c l}\langle Expression \rangle & ::= & [\langle Application \rangle ]\ \lambda\ \langle Variable \rangle\ .\ \langle Expression \rangle \\ & | & \langle Application \rangle\\\langle Application Lambda \rangle & ::= & \langle Application \rangle \langle Unary \rangle\ |\ \langle Unary \rangleto V\\\langle Unary Lambda \rangle & ::= & '('to \langle Expression Lambda \rangle ')'\ |\ \langle Variable \rangleLambda\\\langle Variable Lambda \rangle & ::= & to \langle Char \rangle +\\lambda V . \end{array}Lambda
</tex>
где <tex>V</tex> {{---}} множество всех строк над фиксированным алфавитом <tex> \Sigma \setminus \{ "\lambda", "\ ",\ "."\} </tex>.
}}
Пробел во втором правиле является терминалом грамматики. Иногда его обозначают как @, чтобы он не сливался с другими символами в выражении.
В первом случае функция является просто переменной.
создание функции одного аргумента с заданными именем аргумента и телом функции.
Рассмотрим, например, функцию <tex>\lambda</tex>-терм <tex>\operatorname{id} = \lambda x\ .\ x</tex>. Эта функция принимает аргумент и
возвращает его неизменённым. Например,
<tex>\operatorname{id}\ 2 \equiv 2</tex>. Аналогично, <tex>\operatorname{id}\ y \equiv y</tex>.
===Приоритет операций===
* Применение левоассоциативноАппликация: <tex>x\ y\ z\ w \equiv ((x\ y)\ z)\ w</tex>
* Абстракция забирает себе всё, до чего дотянется: <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ \lambda z\ .\ z\ y\ x \equiv \lambda x\ .\ (\lambda y\ .\ (\lambda z\ .\ ((z\ y)\ x)))</tex>
* Скобки играют привычную роль группировки действий
дереве разбора были абстракции. Все остальные переменные называются свободными.
Например, в <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ x</tex>, <tex>x</tex> и связана, а <tex>y</tex>{{---}} свободна. А в <tex>\lambda y\ .\ x \ (\lambda x\ .\ x)</tex>
в своём первом вхождении переменная <tex>x</tex> свободна, а во втором {{---}} связана.
Связанные переменные {{- --}} это аргументы функции. То есть для функции они являются локальными.
Рассмотрим функции <tex>\lambda y\ .\ y</tex> и <tex>\lambda x\ .\ y</tex>. В первой из них при взгляде на <tex>y</tex>
{{Определение
|definition='''<tex>\alpha</tex>-эквивалетностью'' ' (англ. ''<tex>\alpha</tex> -equivalence'') {{---}} называется наименьшее соотношение эквивалентности на <tex>\Lambda</tex> такое что:
:<tex>P=_\alpha P</tex> для любого <tex>P</tex>
:<tex>\lambda x.P=_\alpha \lambda y.P[x:=y]</tex> если <tex>y \not\in FV(P)</tex>
{{Определение
|definition=
'''<tex>\beta</tex>-редукция ''' (англ. ''<tex>\beta</tex> -reduction'') {{---}} это наименьшее соотношение на <tex>\Lambda</tex> такое что
:<tex>(\lambda x.P)Q\to _\beta P[x:=Q]</tex>
и замкнуто относительно следующих правил
}}
В <tex>\beta</tex>-редукции вполне возможна функция вида <tex>\lambda x. \lambda x.x</tex>. Во время подстановки вместо <tex>x</tex> внутренняя переменная не заменяется - действует принцип локальной переменной. Но принято считать, что таких ситуаций не возникает и все переменные называются разными именами. ===Каррирование=== {{Определение|definition='''Каррирование''' (англ. ''carrying'') {{---}} преобразование функции от многих переменных в функцию, берущую свои аргументы по одному. Для функции <tex>h</tex> типа <tex>h\ :\ (A\ *\ B)\ \to\ C</tex> оператор каррирования <tex>\Lambda </tex> выполняет преобразование <tex>\Lambda (h)\ :\ A\to (B\to C)</tex>. Таким образом <tex>\Lambda (h)</tex> берет аргумент типа <tex>A</tex> и возвращает функцию типа <tex>B\ \to\ C</tex>. С интуитивной точки зрения, каррирование функции позволяет фиксировать ее некоторый аргумент, возвращая функцию от остальных аргументов. Таким образом, <tex>\Lambda</tex> представляет собой функцию типа <tex>\Lambda :\ (A\ *\ B\to C)\to (A\to (B\to C))</tex>.}} ==Нотация Де БрёйнаБрауна==
Существует также альтернативное эквивалентное определение <tex>\lambda</tex>-исчисления.
В оригинальном определении для обозначения переменных использовались имена,
связана. В данной нотации получаются несколько более простые определения
свободных переменных и <tex>\beta</tex>-редукции.
Грамматику нотации можно задать как:
:<tex>e\ ::= n\ |\ \lambda .e\ |\ e\ e</tex>
Примеры выражений в этой нотации:
{|
! Standart
! de Bruijn
|-
| $\lambda x.x$
| $\lambda .0$
|-
| $\lambda z.z$
| $\lambda .0$
|-
| $\lambda x. \lambda y.x$
| $\lambda . \lambda .1$
|-
| $\lambda x. \lambda y. \lambda s. \lambda z.x\ s\ (y\ s\ z)$
| $\lambda . \lambda . \lambda . \lambda .3\ 1(2\ 1\ 0)$
|-
| $(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$
| $(\lambda .0\ 0)(\lambda .0\ 0)$
|-
| $(\lambda x. \lambda x.x)(\lambda y.y)$
| $(\lambda .\lambda .0)(\lambda .0)$
|}
Переменная называется свободной, если ей соответствует число, которое больше
===+1===
Функция, прибавляющая <tex>1 </tex> к числу, должна принимать первым аргументом число.
Но число {{---}} функция двух аргументов. Значит, эта функция должна принимать три
аргумента: "число" <tex>n</tex>, которое хочется увеличить, функция, которую надо будет
<tex>(\operatorname{plus}\ \bar 3\ \bar 3)\ (+1)\ 0 \equiv 6</tex>
<tex>(\operatorname{plus}\ ((\operatorname{plus}\ 2\ 5)(+1)\ 0)\ 4)(+1)0 \equiv 11</tex>
===Умножение===
<tex>\operatorname{isZero} = \lambda n\ .\ n\ (\lambda c\ .\ \operatorname{false})\ \operatorname{true}</tex>
Функция выглядит несколько странно. <tex>\lambda c -> \to \operatorname{false}</tex> {{---}} функция, которая независимо
от того, что ей дали на вход, возвращает <tex>\operatorname{false}</tex>. Тогда, если в качестве <tex>n</tex>
будет дан ноль, то функция, по определению нуля, не выполнится ни разу, и будет
Это даст функцию, которая посчитает факториал числа. Но делать она это будет мееедленно-меееедленно. Для того, чтобы посчитать <tex>5!</tex> потребовалось сделать 66066 <tex>\beta</tex>-редукций.
===Деление===
===Проверка на простоту===
<tex>\operatorname{isPrimeHelp}</tex> {{---}} принимает число, которое требуется проверить на простоту и то, на что его надо опытаться поделить, перебирая это от <tex>2 </tex> до <tex>p-1</tex>. Если на что-нибудь разделилось, то число {{---}} составное, иначе {{---}} простое.
<tex>\operatorname{isPrimeHelp'} =</tex><tex>\lambda f\ .\ \lambda p\ .\ \lambda i\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{le}\ p\ i)\ \operatorname{true}\ (\operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{mod}\ p\ i))\ \operatorname{false}\ (f\ p\ (\operatorname{succ}\ i)))</tex>
<tex>\lambda list.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (list)))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) n m)) (f ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda div.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) (\lambda s.\lambda z.z)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (div ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m))) n m) m) n) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (list))</tex><tex> ((\lambda i.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (i))</tex><tex> p (f ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (p)</tex><tex> i) (\lambda a.\lambda b.a)</tex><tex> ((\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) p i)) (\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (f p ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (i)))))</tex><tex> p (\lambda s.\lambda z.s (s z)))</tex><tex> (p))</tex><tex> p (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p))))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p)))</tex><tex> (p))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (i))))</tex><tex> (\lambda s.\lambda z.s (s z))</tex><tex> i) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (list)))))</tex>
== См. также ==*[[Неразрешимость задачи вывода типов в языке с зависимыми типами]] ==Источникиинформации==
* Lectures on the Curry Howard - Isomorphism
*[https://github.com/shd/tt2014 Д. Штукенберг. Лекции]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda-calculus Английская Википедия]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%8F%D0%BC%D0%B1%D0%B4%D0%B0-%D0%B8%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Русская Википедия]
*[http://worrydream.com/AlligatorEggs Игра про крокодилов]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
