Лямбда-исчисление — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Fixed parentheses)
(удалил неуместный баннер)
 
(не показана 71 промежуточная версия 13 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
'''Лямбда-исчисление''' (''англ. lambda calculus'') {{---}} формальная система, придуманная в 1930-х годах  
 
 
'''Лямбда-исчисление'''(''lambda calculus'') {{---}} формальная система, придуманная в 1930-х годах  
 
 
Алонзо Чёрчем. Лямбда-функция является, по сути, анонимной функцией.
 
Алонзо Чёрчем. Лямбда-функция является, по сути, анонимной функцией.
 
Эта концепция показала себя удобной и сейчас активно используется во многих
 
Эта концепция показала себя удобной и сейчас активно используется во многих
Строка 7: Строка 5:
  
 
== Лямбда-исчисление==
 
== Лямбда-исчисление==
 
Более формально, ''лямбда-функцию'' (или, ''лямбда-терм'') можно задать
 
следующей грамматикой:
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
 +
'''Лямбда-выражением''' (англ. <tex>\lambda</tex>''-term'') называется выражение, удовлетворяющее следующей грамматике:<br>
 
<tex>
 
<tex>
\begin{array}{r c l}
+
\Lambda \to V\\
\langle Term \rangle & ::= & \langle Variable \rangle \\
+
\Lambda \to \Lambda \ \Lambda\\
                      & | & \langle Term \rangle \langle Term \rangle \\
+
\Lambda \to \lambda V . \Lambda
                      & | & \lambda \langle Variable \rangle\ .\ \langle Term \rangle\\
 
                      & | & ( \langle Term \rangle )\\
 
\langle Variable \rangle & ::= & \langle Char \rangle +\\
 
\end{array}
 
 
</tex>
 
</tex>
 +
где <tex>V</tex> {{---}} множество всех строк над фиксированным алфавитом <tex> \Sigma \setminus \{ "\lambda", "\ ",\ "."\} </tex>.
 
}}
 
}}
 +
Пробел во втором правиле является терминалом грамматики. Иногда его обозначают как @, чтобы он не сливался с другими символами в выражении.
  
 
В первом случае функция является просто переменной.  
 
В первом случае функция является просто переменной.  
Строка 29: Строка 23:
 
создание функции одного аргумента с заданными именем аргумента и телом функции.
 
создание функции одного аргумента с заданными именем аргумента и телом функции.
  
Рассмотрим, например, функцию <tex>\operatorname{id} = \lambda x\ .\ x</tex>. Эта функция принимает аргумент и  
+
Рассмотрим, например, <tex>\lambda</tex>-терм <tex>\operatorname{id} = \lambda x\ .\ x</tex>. Эта функция принимает аргумент и  
 
возвращает его неизменённым. Например,  
 
возвращает его неизменённым. Например,  
 
<tex>\operatorname{id}\ 2 \equiv 2</tex>. Аналогично, <tex>\operatorname{id}\ y \equiv y</tex>.  
 
<tex>\operatorname{id}\ 2 \equiv 2</tex>. Аналогично, <tex>\operatorname{id}\ y \equiv y</tex>.  
  
Ещё один пример функции: <tex>\operatorname{sum} = \lambda x\ .\ \lambda y\ .\ x + y</tex>. Эта функция двух аргументов,
+
Еще примеры:
которая возвращает их сумму. Правда, здесь мы немного вышли за написанную выше грамматику.
+
:<tex>
Ну да ладно. <tex>\operatorname{sum}\ 2\ 3 \equiv 5</tex>
+
x\\
 +
(x\ z)\\
 +
(\lambda x.(x\ z))\\
 +
(\lambda z.(\lambda w.((\lambda y.((\lambda x.(x\ z))\ y))\ w)))\\
 +
</tex>
 +
 
 +
Иногда <tex>\lambda</tex> -термы пишут по другому. Для краткости подряд идущие лямбды заменяют на одну. Например:
 +
:<tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .P\ \to\ \lambda xy.P</tex>  
  
 
===Приоритет операций===
 
===Приоритет операций===
* Применение левоассоциативно: <tex>x\ y\ z\ w \equiv ((x\ y)\ z)\ w</tex>
+
* Аппликация: <tex>x\ y\ z\ w \equiv ((x\ y)\ z)\ w</tex>
* Аппликация забирает себе всё, до чего дотянется: <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ \lambda z\ .\ z\ y\ x \equiv \lambda x\ .\ (\lambda y\ .\ (\lambda z\ .\ ((z\ y)\ x)))</tex>
+
* Абстракция забирает себе всё, до чего дотянется: <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ \lambda z\ .\ z\ y\ x \equiv \lambda x\ .\ (\lambda y\ .\ (\lambda z\ .\ ((z\ y)\ x)))</tex>
 
* Скобки играют привычную роль группировки действий
 
* Скобки играют привычную роль группировки действий
  
Строка 46: Строка 47:
 
дереве разбора были абстракции. Все остальные переменные называются свободными.
 
дереве разбора были абстракции. Все остальные переменные называются свободными.
  
Например, в <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ x</tex>, <tex>x</tex> связана, а <tex>y</tex>{{---}} свободна. А в <tex>\lambda y\ .\ x (\lambda x\ .\ x)</tex>
+
Например, в <tex>\lambda x\ .\ y\ x</tex>, <tex>x</tex> и  связана, а <tex>y</tex>{{---}} свободна. А в <tex>\lambda y\ .\ x\ (\lambda x\ .\ x)</tex>
 
в своём первом вхождении переменная <tex>x</tex> свободна, а во втором {{---}} связана.
 
в своём первом вхождении переменная <tex>x</tex> свободна, а во втором {{---}} связана.
 +
 +
Связанные переменные {{---}} это аргументы функции. То есть для функции они являются локальными.
  
 
Рассмотрим функции <tex>\lambda y\ .\ y</tex> и <tex>\lambda x\ .\ y</tex>. В первой из них при взгляде на <tex>y</tex>
 
Рассмотрим функции <tex>\lambda y\ .\ y</tex> и <tex>\lambda x\ .\ y</tex>. В первой из них при взгляде на <tex>y</tex>
Строка 57: Строка 60:
 
по <tex>x</tex>.
 
по <tex>x</tex>.
  
===α-конверсия===
+
===α-эквивалетность===
 
 
Рассмотрим функции <tex>(\lambda x\ .\ x) z</tex> и <tex>(\lambda y\ .\ y) z</tex>. Интуитивно понятно, что они
 
являются одинаковыми.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=''<tex>\alpha</tex>-конверсия'' {{---}} переименование связанной переменной. Выражение
+
|definition='''<tex>\alpha</tex>-эквивалетностью''' (англ. ''<tex>\alpha</tex> -equivalence'') {{---}} называется наименьшее соотношение эквивалентности на <tex>\Lambda</tex> такое что:
<tex>\lambda x\ .\ f</tex> можно заменить на <tex>\lambda y\ .\ f[x := y]</tex>, если <tex>y</tex> не входит свободно в <tex>f</tex>,
+
:<tex>P=_\alpha P</tex> для любого <tex>P</tex>
где <tex>f[x:=y]</tex> означает замену всех свободных вхождений <tex>x</tex> в <tex>f</tex> на <tex>y</tex>.
+
:<tex>\lambda x.P=_\alpha \lambda y.P[x:=y]</tex> если <tex>y \not\in FV(P)</tex>
 +
и замкнуто относительно следующих правил:
 +
:<tex> P=_\alpha P' \Rightarrow \forall x \in V: \lambda x.P=_\alpha \lambda x.P'\\
 +
P=_\alpha P' \Rightarrow \forall Z \in \Lambda : P Z =_\alpha P'Z\\
 +
P=_\alpha P' \Rightarrow \forall Z \in \Lambda : Z P =_\alpha Z P'\\
 +
P=_\alpha P' \Rightarrow P'=_\alpha P\\
 +
P=_\alpha P' \ \& \ P'=_\alpha P'' \Rightarrow P=_\alpha P''\\</tex>
 
}}
 
}}
 
Функции, получающиеся одна из другой с помощью <tex>\alpha</tex>-конверсий, называются
 
''<tex>\alpha</tex>-эквивалентными'' и обозначаются <tex>f \equiv_\alpha g</tex>.
 
  
 
Функции <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ x\ y\ z</tex> и <tex>\lambda a\ .\ \lambda x\ .\ a\ x\ z</tex> являются <tex>\alpha</tex>-эквивалентными,
 
Функции <tex>\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ x\ y\ z</tex> и <tex>\lambda a\ .\ \lambda x\ .\ a\ x\ z</tex> являются <tex>\alpha</tex>-эквивалентными,
Строка 78: Строка 81:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>\beta</tex>-редукция олицетворяет идею счёта значения функции. Выражение вида
+
'''<tex>\beta</tex>-редукция''' (англ. ''<tex>\beta</tex> -reduction'') {{---}} это наименьшее соотношение на <tex>\Lambda</tex> такое что
<tex>(\lambda x\ .\ f)\ y</tex> можно заменить на <tex>f[x := y]</tex>, где <tex>f[x:=y]</tex>, как и ранее, означает
+
:<tex>(\lambda x.P)Q\to _\beta P[x:=Q]</tex>
замену всех свободных вхождений <tex>x</tex> в <tex>f</tex> на <tex>y</tex>.
+
и замкнуто относительно следующих правил
 +
:<tex>P\to _\beta P' \Rightarrow \forall x\in V:\lambda x.P\to _\beta \lambda x.P'\\
 +
P\to _\beta P' \Rightarrow \forall Z\in \Lambda : P\ Z\to _\beta P'\ Z\\
 +
P\to _\beta P' \Rightarrow \forall Z\in \Lambda : Z\ P\to _\beta Z\ P'</tex>  
 
}}
 
}}
  
Строка 89: Строка 95:
 
}}
 
}}
  
==Нотация Де Брюина==
+
В <tex>\beta</tex>-редукции вполне возможна функция вида <tex>\lambda x. \lambda x.x</tex>. Во время подстановки вместо <tex>x</tex> внутренняя переменная не заменяется - действует принцип локальной переменной. Но принято считать, что таких ситуаций не возникает и все переменные называются разными именами.
 +
 
 +
===Каррирование===
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Каррирование''' (англ. ''carrying'') {{---}} преобразование функции от многих переменных в функцию, берущую свои аргументы по одному. Для функции <tex>h</tex> типа <tex>h\ :\ (A\ *\ B)\ \to\ C</tex> оператор каррирования <tex>\Lambda </tex> выполняет преобразование <tex>\Lambda (h)\ :\ A\to (B\to C)</tex>. Таким образом <tex>\Lambda (h)</tex> берет аргумент типа <tex>A</tex> и возвращает функцию типа <tex>B\ \to\ C</tex>. С интуитивной точки зрения, каррирование функции позволяет фиксировать ее некоторый аргумент, возвращая функцию от остальных аргументов. Таким образом, <tex>\Lambda</tex> представляет собой функцию типа <tex>\Lambda :\ (A\ *\ B\to C)\to (A\to (B\to C))</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
==Нотация Де Брауна==
 
Существует также альтернативное эквивалентное определение <tex>\lambda</tex>-исчисления.
 
Существует также альтернативное эквивалентное определение <tex>\lambda</tex>-исчисления.
 
В оригинальном определении для обозначения переменных использовались имена,
 
В оригинальном определении для обозначения переменных использовались имена,
Строка 100: Строка 115:
 
связана. В данной нотации получаются несколько более простые определения  
 
связана. В данной нотации получаются несколько более простые определения  
 
свободных переменных и <tex>\beta</tex>-редукции.  
 
свободных переменных и <tex>\beta</tex>-редукции.  
 +
 +
Грамматику нотации можно задать как:
 +
:<tex>e\ ::= n\ |\ \lambda .e\ |\ e\ e</tex>
 +
 +
Примеры выражений в этой нотации:
 +
 +
{|
 +
! Standart
 +
! de Bruijn
 +
|-
 +
| $\lambda x.x$
 +
| $\lambda .0$
 +
|-
 +
| $\lambda z.z$
 +
| $\lambda .0$
 +
|-
 +
| $\lambda x. \lambda y.x$
 +
| $\lambda . \lambda .1$
 +
|-
 +
| $\lambda x. \lambda y. \lambda s. \lambda z.x\ s\ (y\ s\ z)$
 +
| $\lambda . \lambda . \lambda . \lambda .3\ 1(2\ 1\ 0)$
 +
|-
 +
| $(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$
 +
| $(\lambda .0\ 0)(\lambda .0\ 0)$
 +
|-
 +
| $(\lambda x. \lambda x.x)(\lambda y.y)$
 +
| $(\lambda .\lambda .0)(\lambda .0)$
 +
|}
  
 
Переменная называется свободной, если ей соответствует число, которое больше
 
Переменная называется свободной, если ей соответствует число, которое больше
Строка 106: Строка 149:
 
При <tex>\beta</tex>-редукции же нужно будет ко всем свободным переменным заменяющего  
 
При <tex>\beta</tex>-редукции же нужно будет ко всем свободным переменным заменяющего  
 
дерева при каждой замене прибавить число, равное разницы уровней раньше и сейчас.
 
дерева при каждой замене прибавить число, равное разницы уровней раньше и сейчас.
Это будет соответствовать тому, что эта переменная продолжит <<держаться>> за
+
Это будет соответствовать тому, что эта переменная продолжит «держаться» за
 
ту же лямбду, что и раньше.
 
ту же лямбду, что и раньше.
  
Строка 116: Строка 159:
 
число.
 
число.
  
* <tex>\bar 0 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ z</tex>
+
:<tex>\bar 0 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ z</tex>
* <tex>\bar 1 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ z</tex>
+
:<tex>\bar 1 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ z</tex>
* <tex>\bar 2 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (s\ z)</tex>
+
:<tex>\bar 2 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (s\ z)</tex>
* <tex>\bar 3 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (s\ (s\ z))</tex>
+
:<tex>\bar 3 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (s\ (s\ z))</tex>
  
 
Каждое число будет функцией двух аргументов: какой-то функции и начального значения.
 
Каждое число будет функцией двух аргументов: какой-то функции и начального значения.
 
Число <tex>n</tex> будет <tex>n</tex> раз применять функцию к начальному значению и возвращать  
 
Число <tex>n</tex> будет <tex>n</tex> раз применять функцию к начальному значению и возвращать  
результат. Если такому <<числу>> дать на вход функцию <tex>(+1)</tex> и <tex>0</tex> в качестве  
+
результат. Если такому "числу" дать на вход функцию <tex>(+1)</tex> и <tex>0</tex> в качестве  
 
начального значения, то на выходе как раз будет ожидаемое от функции число:
 
начального значения, то на выходе как раз будет ожидаемое от функции число:
 
<tex>\bar 3\ (+1)\ 0 \equiv 3</tex>.
 
<tex>\bar 3\ (+1)\ 0 \equiv 3</tex>.
  
 
===+1===
 
===+1===
Функция, прибавляющая 1 к числу, должна принимать первым аргументом число.
+
Функция, прибавляющая <tex>1</tex> к числу, должна принимать первым аргументом число.
 
Но число {{---}} функция двух аргументов. Значит, эта функция должна принимать три
 
Но число {{---}} функция двух аргументов. Значит, эта функция должна принимать три
аргумента: <<число>> <tex>n</tex>, которое хочется увеличить, функция, которую надо будет
+
аргумента: "число" <tex>n</tex>, которое хочется увеличить, функция, которую надо будет
 
<tex>n+1</tex> раз применить, и начальное значение.
 
<tex>n+1</tex> раз применить, и начальное значение.
  
Строка 146: Строка 189:
  
 
<tex>(\operatorname{plus}\ \bar 3\ \bar 3)\ (+1)\ 0 \equiv 6</tex>
 
<tex>(\operatorname{plus}\ \bar 3\ \bar 3)\ (+1)\ 0 \equiv 6</tex>
 +
 +
<tex>(\operatorname{plus}\ ((\operatorname{plus}\ 2\ 5)(+1)\ 0)\ 4)(+1)0 \equiv 11</tex>
  
 
===Умножение===
 
===Умножение===
Строка 152: Строка 197:
 
функции должна быть не <tex>s</tex>, а функция, применяющая <tex>n</tex> раз <tex>s</tex>.
 
функции должна быть не <tex>s</tex>, а функция, применяющая <tex>n</tex> раз <tex>s</tex>.
  
<tex>\operatorname{mult} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ n\ (m\ s)</tex>
+
<tex>\operatorname{mult} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ n\ (m\ s)\ z</tex>
  
 
Здесь <tex>m\ s</tex> {{---}} функция, которая <tex>m</tex> раз применит <tex>s</tex> к тому, что дадут ей на  
 
Здесь <tex>m\ s</tex> {{---}} функция, которая <tex>m</tex> раз применит <tex>s</tex> к тому, что дадут ей на  
Строка 164: Строка 209:
 
It's a kind of magic
 
It's a kind of magic
  
<tex>\operatorname{power} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ m\ n</tex>
+
<tex>\operatorname{power} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ m\ n\ s\ z</tex>
  
 
<tex>(\operatorname{power}\ \bar 3\ (\operatorname{succ}\ \bar 3))\ (+1)\ 0 \equiv 81</tex>
 
<tex>(\operatorname{power}\ \bar 3\ (\operatorname{succ}\ \bar 3))\ (+1)\ 0 \equiv 81</tex>
Строка 183: Строка 228:
 
Стандартные функции булевой логики:
 
Стандартные функции булевой логики:
  
<tex>\operatorname{and} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if} n\ m\ \operatorname{false}</tex>
+
<tex>\operatorname{and} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ n\ m\ \operatorname{false}</tex>
  
<tex>\operatorname{or} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if} n\ \operatorname{true} m</tex>
+
<tex>\operatorname{or} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ n\ \operatorname{true} m</tex>
  
<tex>\operatorname{not} = \lambda b\ .\ \operatorname{if} b\ \operatorname{false} \operatorname{true}</tex>
+
<tex>\operatorname{not} = \lambda b\ .\ \operatorname{if}\ b\ \operatorname{false} \ \operatorname{true}</tex>
  
 
Ещё одной важной функцией является функция проверки, является ли число нулём:
 
Ещё одной важной функцией является функция проверки, является ли число нулём:
Строка 193: Строка 238:
 
<tex>\operatorname{isZero} = \lambda n\ .\ n\ (\lambda c\ .\ \operatorname{false})\ \operatorname{true}</tex>
 
<tex>\operatorname{isZero} = \lambda n\ .\ n\ (\lambda c\ .\ \operatorname{false})\ \operatorname{true}</tex>
  
Функция выглядит несколько странно. <tex>\lambda c -> \operatorname{false}</tex> {{---}} функция, которая независимо
+
Функция выглядит несколько странно. <tex>\lambda c \to \operatorname{false}</tex> - функция, которая независимо
 
от того, что ей дали на вход, возвращает <tex>\operatorname{false}</tex>. Тогда, если в качестве <tex>n</tex>
 
от того, что ей дали на вход, возвращает <tex>\operatorname{false}</tex>. Тогда, если в качестве <tex>n</tex>
 
будет дан ноль, то функция, по определению нуля, не выполнится ни разу, и будет
 
будет дан ноль, то функция, по определению нуля, не выполнится ни разу, и будет
Строка 236: Строка 281:
  
 
===Комбинатор неподвижной точки===
 
===Комбинатор неподвижной точки===
Попробуем выразить в лямбда-исчислении какую-нибудь функцию, использующую рекурсию. Напрмер, факториал.
+
Попробуем выразить в лямбда-исчислении какую-нибудь функцию, использующую рекурсию. Например, факториал.
  
 
<tex>\operatorname{fact} = \lambda x\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ x)\ \bar 1\ (\operatorname{fact}\ (\operatorname{pred}\ x))</tex>
 
<tex>\operatorname{fact} = \lambda x\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ x)\ \bar 1\ (\operatorname{fact}\ (\operatorname{pred}\ x))</tex>
Строка 268: Строка 313:
 
<tex>\operatorname{fact} = \operatorname{fix}\ \operatorname{fact'}</tex>
 
<tex>\operatorname{fact} = \operatorname{fix}\ \operatorname{fact'}</tex>
  
Это даст функцию, которая посчитает факториал числа. Но делать она это будет мееедленно-меееедленно. Для того, чтобы посчитать <tex?5!</tex> потребовалось сделать 66066 <tex>\beta</tex>-редукций.
+
Это даст функцию, которая посчитает факториал числа. Но делать она это будет мееедленно-меееедленно. Для того, чтобы посчитать <tex>5!</tex> потребовалось сделать 66066 <tex>\beta</tex>-редукций.
  
Тут правда ничего не понятно? :'(
+
Наиболее известным комбинатором неподвижной точки является <tex>Y</tex>-комбинатор, введенный известным американским ученым Хаскеллом Карри как
 +
:<tex>Y\ = \ \lambda f.(\lambda x.f(x\ x))\ (\lambda x.f(x\ x))</tex>
  
 
===Деление===
 
===Деление===
Строка 287: Строка 333:
 
===Проверка на простоту===
 
===Проверка на простоту===
  
<tex>\operatorname{isPrimeHelp}</tex> {{---}} принимает число, которое требуется проверить на простоту и то, на что его надо опытаться поделить, перебирая это от 2 до <tex>p-1</tex>. Если на что-нибудь разделилось, то число {{---}} составное, иначе {{---}} простое.
+
<tex>\operatorname{isPrimeHelp}</tex> {{---}} принимает число, которое требуется проверить на простоту и то, на что его надо опытаться поделить, перебирая это от <tex>2</tex> до <tex>p-1</tex>. Если на что-нибудь разделилось, то число {{---}} составное, иначе {{---}} простое.
  
 
<tex>\operatorname{isPrimeHelp'} =</tex><tex>\lambda f\ .\ \lambda p\ .\ \lambda i\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{le}\ p\ i)\ \operatorname{true}\ (\operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{mod}\ p\ i))\ \operatorname{false}\ (f\ p\ (\operatorname{succ}\ i)))</tex>
 
<tex>\operatorname{isPrimeHelp'} =</tex><tex>\lambda f\ .\ \lambda p\ .\ \lambda i\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{le}\ p\ i)\ \operatorname{true}\ (\operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{mod}\ p\ i))\ \operatorname{false}\ (f\ p\ (\operatorname{succ}\ i)))</tex>
Строка 347: Строка 393:
  
 
====fact====
 
====fact====
(\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\f.\x.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) (x)) (\s.\z.s z) ((\n.\m.\s.n (m s)) (x) (f ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) (x)))))
+
<tex>(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda x.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (x))</tex><tex> (\lambda s.\lambda z.s z)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.\lambda s.n (m s))</tex><tex> (x)</tex><tex> (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex>((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex>(z)</tex><tex> z))) (x)))))</tex>
 
 
 
====head====
 
====head====
\list.(\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\f.\n.\m.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\mod.\n.\m.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.\m.(\n.\m.(\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m)) (n) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) (m))) (n) m) n (mod ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m) m)) n m)) ((\n.\s.\z.s (n s z)) (f ((\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\div.\n.\m.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.\m.(\n.\m.(\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m)) (n) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) (m))) (n) m) (\s.\z.z) ((\n.\s.\z.s (n s z)) (div ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m) m))) n m) m)) (\s.\z.z)) ((\p.p (\a.\b.b)) (list)) ((\i.(\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\f.\p.\i.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) (i)) p (f ((\p.(\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\f.\p.(\p.\t.\e.p t e) ((\p.(\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\f.\p.\i.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.\m.(\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m)) (p) i) (\a.\b.a) ((\p.\t.\e.p t e) ((\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\mod.\n.\m.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.\m.(\n.\m.(\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m)) (n) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) (m))) (n) m) n (mod ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m) m)) p i)) (\a.\b.b) (f p ((\n.\s.\z.s (n s z)) (i))))) p (\s.\z.s (s z))) (p)) p (f ((\n.\s.\z.s (n s z)) (p)))) ((\n.\s.\z.s (n s z)) (p))) (p)) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) (i)))) (\s.\z.s (s z)) i) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) ((\p.p (\a.\b.a)) (list))))
+
<tex>\lambda list.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n(\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) n m)) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (f ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda div.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) (\lambda s.\lambda z.z)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (div ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m))) n m) m)) (\lambda s.\lambda z.z))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (list))</tex><tex> ((\lambda i.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (i))</tex><tex> p (f ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (p)</tex><tex> i) (\lambda a.\lambda b.a)</tex><tex> ((\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) p i)) (\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (f p ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (i)))))</tex><tex> p (\lambda s.\lambda z.s (s z)))</tex><tex> (p))</tex><tex> p (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p))))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p)))</tex><tex> (p))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (i))))</tex><tex> (\lambda s.\lambda z.s (s z))</tex><tex> i) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (list))))</tex>
  
  
 
====tail====
 
====tail====
\list.(\a.\b.\t.t a b) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) ((\p.p (\a.\b.a)) (list))) ((\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\f.\n.\m.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\mod.\n.\m.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.\m.(\n.\m.(\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m)) (n) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) (m))) (n) m) n (mod ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m) m)) n m)) (f ((\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\div.\n.\m.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.\m.(\n.\m.(\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m)) (n) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) (m))) (n) m) (\s.\z.z) ((\n.\s.\z.s (n s z)) (div ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m) m))) n m) m) n) ((\p.p (\a.\b.b)) (list)) ((\i.(\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\f.\p.\i.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) (i)) p (f ((\p.(\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\f.\p.(\p.\t.\e.p t e) ((\p.(\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\f.\p.\i.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.\m.(\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m)) (p) i) (\a.\b.a) ((\p.\t.\e.p t e) ((\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\f.(\x.f (x x)) (\x.f (x x))) (\mod.\n.\m.(\p.\t.\e.p t e) ((\n.\m.(\n.\m.(\n.n (\c.\a.\b.b) (\a.\b.a)) ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m)) (n) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) (m))) (n) m) n (mod ((\n.\m.m (\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) n) (n) m) m)) p i)) (\a.\b.b) (f p ((\n.\s.\z.s (n s z)) (i))))) p (\s.\z.s (s z))) (p)) p (f ((\n.\s.\z.s (n s z)) (p)))) ((\n.\s.\z.s (n s z)) (p))) (p)) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) (i)))) (\s.\z.s (s z)) i) ((\n.\s.\z.(\p.p (\a.\b.b)) (n (\p.(\a.\b.\t.t a b) (s ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\p.p (\a.\b.a)) (p))) ((\a.\b.\t.t a b) (z) z))) ((\p.p (\a.\b.a)) (list)))))
+
<tex>\lambda list.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (list)))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) n m)) (f ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda div.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) (\lambda s.\lambda z.z)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (div ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m))) n m) m) n) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (list))</tex><tex> ((\lambda i.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (i))</tex><tex> p (f ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (p)</tex><tex> i) (\lambda a.\lambda b.a)</tex><tex> ((\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))</tex><tex> (\lambda x.f (x x)))</tex><tex> (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m)) (n)</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (m)))</tex><tex> (n)</tex><tex> m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) n) (n)</tex><tex> m) m)) p i)) (\lambda a.\lambda b.b)</tex><tex> (f p ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (i)))))</tex><tex> p (\lambda s.\lambda z.s (s z)))</tex><tex> (p))</tex><tex> p (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p))))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))</tex><tex> (p)))</tex><tex> (p))</tex><tex> ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) (i))))</tex><tex> (\lambda s.\lambda z.s (s z))</tex><tex> i) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))</tex><tex> (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (p)))</tex><tex> ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)</tex><tex> (z)</tex><tex> z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))</tex><tex> (list)))))</tex>
 
 
==Ссылки==
 
[http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda-calculus Английская Википедия]
 
  
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%8F%D0%BC%D0%B1%D0%B4%D0%B0-%D0%B8%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Русская Википедия]
+
== См. также ==
 +
*[[Неразрешимость задачи вывода типов в языке с зависимыми типами]]
  
[http://rain.ifmo.ru/~komarov/Turing.lhs Тут можно это всё потыкать]
+
==Источники информации==
 +
* Lectures on the Curry Howard - Isomorphism
 +
*[https://github.com/shd/tt2014 Д. Штукенберг. Лекции]
 +
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda-calculus Английская Википедия]
 +
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%8F%D0%BC%D0%B1%D0%B4%D0%B0-%D0%B8%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Русская Википедия]
 +
*[http://worrydream.com/AlligatorEggs Игра про крокодилов]
  
[http://worrydream.com/AlligatorEggs А это игра про крокодильчиков]
+
[[Категория: Теория формальных языков]]
 +
[[Категория: Теория вычислимости]]

Текущая версия на 20:51, 27 октября 2021

Лямбда-исчисление (англ. lambda calculus) — формальная система, придуманная в 1930-х годах Алонзо Чёрчем. Лямбда-функция является, по сути, анонимной функцией. Эта концепция показала себя удобной и сейчас активно используется во многих языках программирования.

Лямбда-исчисление[править]

Определение:
Лямбда-выражением (англ. [math]\lambda[/math]-term) называется выражение, удовлетворяющее следующей грамматике:

[math] \Lambda \to V\\ \Lambda \to \Lambda \ \Lambda\\ \Lambda \to \lambda V . \Lambda [/math]

где [math]V[/math] — множество всех строк над фиксированным алфавитом [math] \Sigma \setminus \{ "\lambda", "\ ",\ "."\} [/math].

Пробел во втором правиле является терминалом грамматики. Иногда его обозначают как @, чтобы он не сливался с другими символами в выражении.

В первом случае функция является просто переменной. Во втором происходит аппликация (применение) одной функции к другой. Это аналогично вычислению функции-левого операнда на аргументе-правом операнде. В третьем — абстракция по переменной. В данном случае происходит создание функции одного аргумента с заданными именем аргумента и телом функции.

Рассмотрим, например, [math]\lambda[/math]-терм [math]\operatorname{id} = \lambda x\ .\ x[/math]. Эта функция принимает аргумент и возвращает его неизменённым. Например, [math]\operatorname{id}\ 2 \equiv 2[/math]. Аналогично, [math]\operatorname{id}\ y \equiv y[/math].

Еще примеры:

[math] x\\ (x\ z)\\ (\lambda x.(x\ z))\\ (\lambda z.(\lambda w.((\lambda y.((\lambda x.(x\ z))\ y))\ w)))\\ [/math]

Иногда [math]\lambda[/math] -термы пишут по другому. Для краткости подряд идущие лямбды заменяют на одну. Например:

[math]\lambda x\ .\ \lambda y\ .P\ \to\ \lambda xy.P[/math]

Приоритет операций[править]

  • Аппликация: [math]x\ y\ z\ w \equiv ((x\ y)\ z)\ w[/math]
  • Абстракция забирает себе всё, до чего дотянется: [math]\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ \lambda z\ .\ z\ y\ x \equiv \lambda x\ .\ (\lambda y\ .\ (\lambda z\ .\ ((z\ y)\ x)))[/math]
  • Скобки играют привычную роль группировки действий

Свободные и связанные переменные[править]

Связанными переменными называются все переменные, по которым выше в дереве разбора были абстракции. Все остальные переменные называются свободными.

Например, в [math]\lambda x\ .\ y\ x[/math], [math]x[/math] и связана, а [math]y[/math]— свободна. А в [math]\lambda y\ .\ x\ (\lambda x\ .\ x)[/math] в своём первом вхождении переменная [math]x[/math] свободна, а во втором — связана.

Связанные переменные — это аргументы функции. То есть для функции они являются локальными.

Рассмотрим функции [math]\lambda y\ .\ y[/math] и [math]\lambda x\ .\ y[/math]. В первой из них при взгляде на [math]y[/math] понятно, что она имеет отношение к переменной, по которой производилась абстракция. Если по одной и той же переменной абстракция производилась более одного раза, то переменная связана с самым поздним (самым нижним в дереве разбора) абстрагированием. Например, в [math]\lambda x\ .\ \lambda x\ .\ \lambda y\ .\ \lambda x\ .\ x[/math], переменная [math]x[/math] связана с самой правой абстракцией по [math]x[/math].

α-эквивалетность[править]

Определение:
[math]\alpha[/math]-эквивалетностью (англ. [math]\alpha[/math] -equivalence) — называется наименьшее соотношение эквивалентности на [math]\Lambda[/math] такое что:
[math]P=_\alpha P[/math] для любого [math]P[/math]
[math]\lambda x.P=_\alpha \lambda y.P[x:=y][/math] если [math]y \not\in FV(P)[/math]

и замкнуто относительно следующих правил:

[math] P=_\alpha P' \Rightarrow \forall x \in V: \lambda x.P=_\alpha \lambda x.P'\\ P=_\alpha P' \Rightarrow \forall Z \in \Lambda : P Z =_\alpha P'Z\\ P=_\alpha P' \Rightarrow \forall Z \in \Lambda : Z P =_\alpha Z P'\\ P=_\alpha P' \Rightarrow P'=_\alpha P\\ P=_\alpha P' \ \& \ P'=_\alpha P'' \Rightarrow P=_\alpha P''\\[/math]


Функции [math]\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ x\ y\ z[/math] и [math]\lambda a\ .\ \lambda x\ .\ a\ x\ z[/math] являются [math]\alpha[/math]-эквивалентными, а [math]\lambda x\ .\ \lambda y\ .\ y\ z[/math] и [math]\lambda y\ .\ \lambda x\ .\ y\ z[/math] — нет.

β-редукция[править]

Определение:
[math]\beta[/math]-редукция (англ. [math]\beta[/math] -reduction) — это наименьшее соотношение на [math]\Lambda[/math] такое что
[math](\lambda x.P)Q\to _\beta P[x:=Q][/math]

и замкнуто относительно следующих правил

[math]P\to _\beta P' \Rightarrow \forall x\in V:\lambda x.P\to _\beta \lambda x.P'\\ P\to _\beta P' \Rightarrow \forall Z\in \Lambda : P\ Z\to _\beta P'\ Z\\ P\to _\beta P' \Rightarrow \forall Z\in \Lambda : Z\ P\to _\beta Z\ P'[/math]


Определение:
Через [math]f \to_\beta g[/math] обозначают сведение [math]f[/math] к [math]g[/math] с помощью одной [math]\beta[/math]-редукции. А через [math]f \to_\beta^* g[/math] — за ноль или более.


В [math]\beta[/math]-редукции вполне возможна функция вида [math]\lambda x. \lambda x.x[/math]. Во время подстановки вместо [math]x[/math] внутренняя переменная не заменяется - действует принцип локальной переменной. Но принято считать, что таких ситуаций не возникает и все переменные называются разными именами.

Каррирование[править]

Определение:
Каррирование (англ. carrying) — преобразование функции от многих переменных в функцию, берущую свои аргументы по одному. Для функции [math]h[/math] типа [math]h\ :\ (A\ *\ B)\ \to\ C[/math] оператор каррирования [math]\Lambda [/math] выполняет преобразование [math]\Lambda (h)\ :\ A\to (B\to C)[/math]. Таким образом [math]\Lambda (h)[/math] берет аргумент типа [math]A[/math] и возвращает функцию типа [math]B\ \to\ C[/math]. С интуитивной точки зрения, каррирование функции позволяет фиксировать ее некоторый аргумент, возвращая функцию от остальных аргументов. Таким образом, [math]\Lambda[/math] представляет собой функцию типа [math]\Lambda :\ (A\ *\ B\to C)\to (A\to (B\to C))[/math].


Нотация Де Брауна[править]

Существует также альтернативное эквивалентное определение [math]\lambda[/math]-исчисления. В оригинальном определении для обозначения переменных использовались имена, и была проблема с тем, что не были запрещены одинаковые имена в разных абстракциях.

От этой проблемы можно избавиться следующим образом. Вместо имени переменной будет храниться натуральное число — количество абстракций в дереве разбора, на которое нужно подняться, чтобы найти ту лямбду, с которой данная переменная связана. В данной нотации получаются несколько более простые определения свободных переменных и [math]\beta[/math]-редукции.

Грамматику нотации можно задать как:

[math]e\ ::= n\ |\ \lambda .e\ |\ e\ e[/math]

Примеры выражений в этой нотации:

Standart de Bruijn
$\lambda x.x$ $\lambda .0$
$\lambda z.z$ $\lambda .0$
$\lambda x. \lambda y.x$ $\lambda . \lambda .1$
$\lambda x. \lambda y. \lambda s. \lambda z.x\ s\ (y\ s\ z)$ $\lambda . \lambda . \lambda . \lambda .3\ 1(2\ 1\ 0)$
$(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $(\lambda .0\ 0)(\lambda .0\ 0)$
$(\lambda x. \lambda x.x)(\lambda y.y)$ $(\lambda .\lambda .0)(\lambda .0)$

Переменная называется свободной, если ей соответствует число, которое больше количества абстракций на пути до неё в дереве разбора.

При [math]\beta[/math]-редукции же нужно будет ко всем свободным переменным заменяющего дерева при каждой замене прибавить число, равное разницы уровней раньше и сейчас. Это будет соответствовать тому, что эта переменная продолжит «держаться» за ту же лямбду, что и раньше.

Нумералы Чёрча и программирование на [math]\lambda[/math]-исчислении[править]

Определение[править]

Введём на основе лямбда-исчисления аналог натуральных чисел, основанный на идее, что натуральное число — это или ноль, или увеличенное на единицу натуральное число.

[math]\bar 0 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ z[/math]
[math]\bar 1 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ z[/math]
[math]\bar 2 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (s\ z)[/math]
[math]\bar 3 = \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (s\ (s\ z))[/math]

Каждое число будет функцией двух аргументов: какой-то функции и начального значения. Число [math]n[/math] будет [math]n[/math] раз применять функцию к начальному значению и возвращать результат. Если такому "числу" дать на вход функцию [math](+1)[/math] и [math]0[/math] в качестве начального значения, то на выходе как раз будет ожидаемое от функции число: [math]\bar 3\ (+1)\ 0 \equiv 3[/math].

+1[править]

Функция, прибавляющая [math]1[/math] к числу, должна принимать первым аргументом число. Но число — функция двух аргументов. Значит, эта функция должна принимать три аргумента: "число" [math]n[/math], которое хочется увеличить, функция, которую надо будет [math]n+1[/math] раз применить, и начальное значение.

[math]\operatorname{succ} = \lambda n\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ s\ (n\ s\ z)[/math]

Здесь [math]n\ s\ z[/math][math]n[/math] раз применённая к [math]z[/math] функция [math]s[/math]. Но нужно применить [math]n+1[/math] раз. Отсюда [math]s\ (n\ s\ z)[/math].

Сложение[править]

Сложение двух чисел похоже на прибавление единицы. Но только надо прибавить не единицу, а второе число.

[math]\operatorname{plus} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ n\ s\ (m\ s\ z)[/math]

[math]n[/math] раз применить [math]s[/math] к применённому [math]m[/math] раз [math]s[/math] к [math]z[/math]

[math](\operatorname{plus}\ \bar 3\ \bar 3)\ (+1)\ 0 \equiv 6[/math]

[math](\operatorname{plus}\ ((\operatorname{plus}\ 2\ 5)(+1)\ 0)\ 4)(+1)0 \equiv 11[/math]

Умножение[править]

Умножение похоже на сложение, но прибавлять надо не единицу, а второе число. Или, в терминах нумералов Чёрча, в качестве применяемой несколько раз функции должна быть не [math]s[/math], а функция, применяющая [math]n[/math] раз [math]s[/math].

[math]\operatorname{mult} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ n\ (m\ s)\ z[/math]

Здесь [math]m\ s[/math] — функция, которая [math]m[/math] раз применит [math]s[/math] к тому, что дадут ей на вход. С помощью [math]\eta[/math]-редукции можно немного сократить эту формулу

[math]\operatorname{mult} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ n\ (m\ s)[/math]

[math](\operatorname{mult} \bar 3\ \bar 3)\ (+1)\ 0 \equiv 9[/math]

Возведение в степень[править]

It's a kind of magic

[math]\operatorname{power} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z\ .\ m\ n\ s\ z[/math]

[math](\operatorname{power}\ \bar 3\ (\operatorname{succ}\ \bar 3))\ (+1)\ 0 \equiv 81[/math]

Логические значения[править]

[math]\operatorname{true} = \lambda a\ .\ \lambda b\ .\ a[/math]

[math]\operatorname{false} = \lambda a\ .\ \lambda b\ .\ b[/math]

Функции двух аргументов, возвращающие первый и второй, соответственное, аргументы. Забавный факт: [math]\operatorname{false} \equiv_\alpha \operatorname{zero}[/math]. Эти функции сделаны такими для того, чтобы красиво написать функцию [math]\operatorname{if}[/math]:

[math]\operatorname{if} = \lambda p\ .\ \lambda t\ .\ \lambda e\ .\ p\ t\ e[/math]

Если ей в качестве первого аргумента дадут [math]\operatorname{true}[/math], то вернётся [math]t[/math], иначе — [math]e[/math].

Стандартные функции булевой логики:

[math]\operatorname{and} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ n\ m\ \operatorname{false}[/math]

[math]\operatorname{or} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ n\ \operatorname{true} \ m[/math]

[math]\operatorname{not} = \lambda b\ .\ \operatorname{if}\ b\ \operatorname{false} \ \operatorname{true}[/math]

Ещё одной важной функцией является функция проверки, является ли число нулём:

[math]\operatorname{isZero} = \lambda n\ .\ n\ (\lambda c\ .\ \operatorname{false})\ \operatorname{true}[/math]

Функция выглядит несколько странно. [math]\lambda c \to \operatorname{false}[/math] - функция, которая независимо от того, что ей дали на вход, возвращает [math]\operatorname{false}[/math]. Тогда, если в качестве [math]n[/math] будет дан ноль, то функция, по определению нуля, не выполнится ни разу, и будет возвращено значение по умолчанию [math]\operatorname{true}[/math]. Иначе же функция будет запущено, и вернётся [math]\operatorname{false}[/math].

Пара[править]

[math]\operatorname{pair} = \lambda a\ .\ \lambda b\ .\ \lambda t\ .\ t\ a\ b[/math]

[math]\operatorname{fst} = \lambda p\ .\ p\ \operatorname{true}[/math]

[math]\operatorname{snd} = \lambda p\ .\ p\ \operatorname{false}[/math]

Функция [math]\operatorname{pair}[/math] принимает два значения и запаковывает их в пару так, чтобы к ним можно было обращаться по [math]\operatorname{fst}[/math] и [math]\operatorname{snd}[/math]. В [math]\operatorname{fst}[/math] и [math]\operatorname{snd}[/math] вместо [math]t[/math] в [math]\operatorname{pair}[/math] будет подставлено [math]\operatorname{true}[/math] или [math]\operatorname{false}[/math], возвращающие, соответственно, первый и второй аргументы, то есть [math]a[/math] или [math]b[/math], соответственно.

Вычитание[править]

В отличие от всех предыдущих функций, вычитание для натуральных чисел определено только в случае, если уменьшаемое больше вычитаемого. Положим в противном случае результат равным нулю. Пусть уже есть функция, которая вычитает из числа единицу. Тогда на её основе легко сделать, собственно, вычитание.

[math]\operatorname{minus} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ m\ \operatorname{pred} n[/math]

Это то же самое, что [math]m[/math] раз вычесть единицу из [math]n[/math].

Осталось, собственно, функция для вычитания единицы. Однако, это не так просто, как может показаться на первый взгляд. Проблема в том, что, имея функцию, которую нужно применить для того, чтобы продвинуться вперёд, продвинуться назад будет проблематично. Если попробовать воспользоваться идеей о том, чтобы, начав от нуля, идти вперёд, и пройти на один шаг меньше, то будет не очень понятно, как же остановиться ровно за один шаг до конца. Для реализации вычитания единицы сделаем следующее. [math]n[/math] раз выполним следующее: имея пару [math]\langle n-1, n-2\rangle[/math] построим пару [math]\langle n, n-1\rangle[/math]. Тогда после [math]n[/math] шагов во втором элементе пары будет записано число [math]n-1[/math], которое и хочется получить.

[math]\operatorname{pred} = \lambda n\ .\ \lambda s\ .\ \lambda z.\ \operatorname{snd}\ ( n\ ( \lambda p\ .\ \operatorname{pair}\ (s\ (\operatorname{fst} p))\ (\operatorname{fst} p) )\ (\operatorname{pair}\ z\ z))[/math]

Если вы ничего не поняли, не огорчайтесь. Вычитание придумал Клини, когда ему вырывали зуб мудрости. А сейчас наркоз уже не тот.

Сравнение[править]

Так как вычитание определено таким способом, чтобы для случая, в котором уменьшаемое больше, чем вычитаемое, возвращать ноль, можно определить сравнение на больше-меньше через него. Равными же числа [math]a[/math] и [math]b[/math] считаются, если [math]a - b = 0 \wedge b - a = 0[/math].

[math]\operatorname{le} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{isZero}\ (\operatorname{minus}\ n\ m)[/math]

[math]\operatorname{less} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{le}\ n\ (\operatorname{pred} m)[/math]

[math]\operatorname{eq} = \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{and}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{minus}\ n\ m))\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{minus}\ m\ n))[/math]

Комбинатор неподвижной точки[править]

Попробуем выразить в лямбда-исчислении какую-нибудь функцию, использующую рекурсию. Например, факториал.

[math]\operatorname{fact} = \lambda x\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ x)\ \bar 1\ (\operatorname{fact}\ (\operatorname{pred}\ x))[/math]

Мы столкнулись с проблемой. В определении функции [math]\operatorname{fact}[/math] используется функция [math]\operatorname{fact}[/math]. При формальной замене, получим бесконечную функцию. Можно попытаться решить эту проблему следующим образом

[math]\operatorname{fact} = (\lambda f\ .\ \lambda x\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ x)\ \bar 1\ (f\ (\operatorname{pred}\ x)))\ \operatorname{fact}[/math]


Определение:
Неподвижной точкой лямбда-функции [math]f[/math] назовём такую функцию [math]x[/math], что [math]f\ x \to_\beta^* x[/math].


Лямбда исчисление обладаем замечательным свойством: у каждой функции есть неподвижная точка!

Рассмотрим следующую функцию.

[math]\operatorname{fix} = \lambda f\ .\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x))\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x))[/math]

Заметим, что [math]\operatorname{fix} \to_\beta^* \lambda f\ .\ f\ ((\lambda x\ .\ f\ (x\ x))\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x)))[/math]. Или, что то же самое, [math]\lambda f\ .\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x))\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x)) \to_\beta^*[/math] [math]\lambda f\ .\ f\ ((\lambda x\ .\ f\ (x\ x))\ (\lambda x\ .\ f\ (x\ x)))[/math]

Рассмотрим функцию

[math]\operatorname{fact'} = \lambda f\ .\ \lambda x\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ x)\ \bar 1\ (\operatorname{mult}\ x\ (f\ (\operatorname{pred}\ x)))[/math]

Как было показано выше, [math]\operatorname{fix} f \to_\beta^* f\ (\operatorname{fix} f)[/math], то есть, [math]\operatorname{fix}\ \operatorname{fact'} \to_\beta^* \operatorname{fact}[/math], где [math]\operatorname{fact}[/math] — искомая функция, считающая факториал.

[math]\operatorname{fact} = \operatorname{fix}\ \operatorname{fact'}[/math]

Это даст функцию, которая посчитает факториал числа. Но делать она это будет мееедленно-меееедленно. Для того, чтобы посчитать [math]5![/math] потребовалось сделать 66066 [math]\beta[/math]-редукций.

Наиболее известным комбинатором неподвижной точки является [math]Y[/math]-комбинатор, введенный известным американским ученым Хаскеллом Карри как

[math]Y\ = \ \lambda f.(\lambda x.f(x\ x))\ (\lambda x.f(x\ x))[/math]

Деление[править]

Воспользовавшись идеей о том, что можно делать рекурсивные функции, сделаем функцию, которая будет искать частное двух чисел.

[math]\operatorname{div'} = \lambda div\ .\ \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{less}\ n\ m)\ \bar 0\ (\operatorname{succ}\ (div\ (\operatorname{minus}\ n\ m)\ m))[/math]

[math]\operatorname{div} = \operatorname{fix}\ \operatorname{div'}[/math]

И остатка от деления

[math]\operatorname{mod'} = \lambda mod\ .\ \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{less}\ n\ m)\ n\ (mod\ (\operatorname{minus}\ n\ m)\ m)[/math]

[math]\operatorname{mod} = \operatorname{fix}\ \operatorname{mod'}[/math]

Проверка на простоту[править]

[math]\operatorname{isPrimeHelp}[/math] — принимает число, которое требуется проверить на простоту и то, на что его надо опытаться поделить, перебирая это от [math]2[/math] до [math]p-1[/math]. Если на что-нибудь разделилось, то число — составное, иначе — простое.

[math]\operatorname{isPrimeHelp'} =[/math][math]\lambda f\ .\ \lambda p\ .\ \lambda i\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{le}\ p\ i)\ \operatorname{true}\ (\operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{mod}\ p\ i))\ \operatorname{false}\ (f\ p\ (\operatorname{succ}\ i)))[/math]

[math]\operatorname{isPrimeHelp} = \operatorname{fix}\ \operatorname{isPrimeHelp'}[/math]

[math]\operatorname{isPrime} = \lambda p\ .\ \operatorname{isPrimeHelp}\ p\ \bar 2[/math]

Следующее простое число. [math]\operatorname{nextPrime'}[/math] — следующее, больше либо равное заданного, [math]\operatorname{nextPrime}[/math] — следующее, большее заданного.

[math]\operatorname{nextPrime''} = \lambda f\ .\ \lambda p\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isPrime}\ p)\ p\ (f\ (\operatorname{succ}\ p)) [/math]

[math]\operatorname{nextPrime'} = \operatorname{fix}\ \operatorname{nextPrime'}[/math]

[math]\operatorname{nextPrime} = \lambda p\ .\ \operatorname{nextPrime'}\ (\operatorname{succ}\ p)[/math]

[math]\operatorname{ithPrimeStep}[/math] пропрыгает [math]i[/math] простых чисел вперёд. [math]\operatorname{ithPrime}[/math] принимает число [math]i[/math] и пропрыгивает столько простых чисел вперёд, начиная с двойки.

[math]\operatorname{ithPrimeStep'} = \lambda f\ .\ \lambda p\ .\ \lambda i\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ i)\ p\ (f\ (\operatorname{nextPrime}\ p)\ (\operatorname{pred}\ i))[/math]

[math]\operatorname{ithPrimeStep} = \operatorname{fix}\ \operatorname{ithPrimeStep'}[/math]

[math]\operatorname{ithPrime} = \lambda i\ .\ \operatorname{ithPrimeStep}\ \bar 2\ i[/math]

...и всего через 314007 [math]\beta[/math]-редукций вы узнаете, что третье простое число — семь!

Списки[править]

Для работы со списками чисел нам понадобятся следующие функции:

  • [math]\operatorname{empty}[/math] — возвращает пустой список
  • [math]\operatorname{cons}[/math] — принимает первый элемент и оставшийся список, склеивает их
  • [math]\operatorname{head}[/math] — вернуть голову списка
  • [math]\operatorname{tail}[/math] — вернуть хвост списка

Список будем хранить в следующем виде: [math]\langle len, p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_{len}^{a_{len}} \rangle[/math]. При этом, голова списка будет храниться как показатель степени при [math]p_{len}[/math].

[math]\operatorname{empty} = \operatorname{pair}\ \operatorname{zero}\ \bar 1[/math]

[math]\operatorname{cons} = \lambda h\ .\ \lambda t\ .\ \operatorname{pair}\ (\operatorname{succ}\ (\operatorname{fst}\ t))\ (\operatorname{mult}\ (\operatorname{snd}\ t)\ (\operatorname{power}\ (\operatorname{ithPrime}\ (\operatorname{fst}\ t))\ h))[/math]

[math]\operatorname{head} = \lambda list\ .\ \operatorname{getExponent}\ (\operatorname{snd}\ list)\ (\operatorname{ithPrime}\ (\operatorname{pred}\ (\operatorname{fst}\ list)))[/math]

[math]\operatorname{tail} = \lambda list\ .\ \operatorname{pair}\ (\operatorname{pred}\ (\operatorname{fst}\ list)) (\operatorname{eliminateMultiplier}\ (\operatorname{snd}\ list)\ (\operatorname{ithPrime}\ (\operatorname{pred}\ (\operatorname{fst}\ list))))[/math]

[math]\operatorname{eliminateMultiplier'} =[/math][math] \lambda f\ .\ \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{mod}\ n\ m))\ (f\ (\operatorname{div}\ n\ m)\ m)\ n[/math]

[math]\operatorname{eliminateMultiplier} = \operatorname{fix}\ \operatorname{eliminateMultiplier'}[/math]

[math]\operatorname{getExponent'} =[/math][math] \lambda f\ .\ \lambda n\ .\ \lambda m\ .\ \operatorname{if}\ (\operatorname{isZero}\ (\operatorname{mod}\ n\ m))\ (\operatorname{succ}\ (f\ (\operatorname{div}\ n\ m)\ m))\ \bar 0[/math]

[math]\operatorname{getExponent} = \operatorname{fix}\ \operatorname{getExponent'}[/math]

Выводы[править]

На основе этого всего уже можно реализовать эмулятор машины тьюринга: с помощью пар, списков чисел можно хранить состояния. С помощью рекурсии можно обрабатывать переходы. Входная строка будет даваться, например, закодированной аналогично списку: пара из длины и числа, характеризующего список степенями простых. Я бы продолжил это писать, но уже на операции [math]\operatorname{head} [1, 2][/math] я не дождался окончания выполнения. Скорость лямбда-исчисления как вычислителя печальна.

Примеры (слабонервным не смотреть)[править]

fact[править]

[math](\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda f.\lambda x.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (x))[/math][math] (\lambda s.\lambda z.s z)[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.\lambda s.n (m s))[/math][math] (x)[/math][math] (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math]((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math](z)[/math][math] z))) (x)))))[/math]

head[править]

[math]\lambda list.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda f.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n(\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m)) (n)[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) (m)))[/math][math] (n)[/math][math] m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m) m)) n m)) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))[/math][math] (f ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda div.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m)) (n)[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) (m)))[/math][math] (n)[/math][math] m) (\lambda s.\lambda z.z)[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))[/math][math] (div ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m) m))) n m) m)) (\lambda s.\lambda z.z))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (list))[/math][math] ((\lambda i.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (i))[/math][math] p (f ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda f.\lambda p.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m)) (p)[/math][math] i) (\lambda a.\lambda b.a)[/math][math] ((\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m)) (n)[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) (m)))[/math][math] (n)[/math][math] m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m) m)) p i)) (\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (f p ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))[/math][math] (i)))))[/math][math] p (\lambda s.\lambda z.s (s z)))[/math][math] (p))[/math][math] p (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))[/math][math] (p))))[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))[/math][math] (p)))[/math][math] (p))[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) (i))))[/math][math] (\lambda s.\lambda z.s (s z))[/math][math] i) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (list))))[/math]


tail[править]

[math]\lambda list.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (list)))[/math][math] ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda f.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m)) (n)[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) (m)))[/math][math] (n)[/math][math] m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m) m)) n m)) (f ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda div.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m)) (n)[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) (m)))[/math][math] (n)[/math][math] m) (\lambda s.\lambda z.z)[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))[/math][math] (div ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m) m))) n m) m) n) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (list))[/math][math] ((\lambda i.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (i))[/math][math] p (f ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda f.\lambda p.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda p.(\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda f.\lambda p.\lambda i.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m)) (p)[/math][math] i) (\lambda a.\lambda b.a)[/math][math] ((\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda f.(\lambda x.f (x x))[/math][math] (\lambda x.f (x x)))[/math][math] (\lambda mod.\lambda n.\lambda m.(\lambda p.\lambda t.\lambda e.p t e)[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.(\lambda n.\lambda m.(\lambda n.n (\lambda c.\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m)) (n)[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) (m)))[/math][math] (n)[/math][math] m) n (mod ((\lambda n.\lambda m.m (\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) n) (n)[/math][math] m) m)) p i)) (\lambda a.\lambda b.b)[/math][math] (f p ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))[/math][math] (i)))))[/math][math] p (\lambda s.\lambda z.s (s z)))[/math][math] (p))[/math][math] p (f ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))[/math][math] (p))))[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.s (n s z))[/math][math] (p)))[/math][math] (p))[/math][math] ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) (i))))[/math][math] (\lambda s.\lambda z.s (s z))[/math][math] i) ((\lambda n.\lambda s.\lambda z.(\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.b))[/math][math] (n (\lambda p.(\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (s ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (p)))[/math][math] ((\lambda a.\lambda b.\lambda t.t a b)[/math][math] (z)[/math][math] z))) ((\lambda p.p (\lambda a.\lambda b.a))[/math][math] (list)))))[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]