60
правок
Изменения
Нет описания правки
Алгоритм можно представить следующим образом: пусть на вечеринке собрались <tex>N</tex> людей, и каждому из них соответствует один элемент из массива. Когда встречаются двое с разными элементами, то они образуют пару и садятся. В конце концов останутся стоять только люди с одинаковыми элементами. Это и есть искомый элемент.
Будем идти по массиву и запоминать элемент, для которого еще не нашлось пары. При встрече такого же элемента увеличиваем счетчик "без пары", иначе <tex>-</tex> — уменьшаем. Если все элементы уже имеют пару, то говорим, что у текущего элемента пары нет.
=== Псевдокод ===
'''function''' findMajorityElement(a: '''int*''', N: '''int'''): '''int''' count = 0 ''<font color="green">// количество людей, оставшихся стоять</font>''
candidate = <tex>\varnothing</tex>
'''for''' i = 0 '''to''' N - 1
'''if''' count == 0 ''<font color="green">// никто не стоит</font>''
'''else''' ''<font color="green"> // стоит другой элемент => подобрали пару</font>''
count-- ''<font color="green">// уменьшим количество стоящих</font>''
=== Доказательство ===
На <tex>i</tex>''-ом'' шаге выполняется следующий инвариант: если <tex>\mathtt{count } > 0</tex>, то <tex>\mathtt{candidate-}</tex> — мажорирующий элемент на подмассиве <tex>a[0..\ldots i]</tex>, либо мажорирующего элемента на данном подмассиве не существует; если <tex>\mathtt{count } = 0</tex>, то мажорирующего элемента на данном подмассиве не существует. Нам гарантируется существование мажорирующего элемента, значит на <tex>N</tex>''-ом'' шаге <tex>\mathtt{count</tex> не равно <tex>} \ne 0</tex> и <tex>\mathtt{candidate}</tex> содержит мажорирующий элемент. Покажем, что данный инвариант всегда выполняется.
Пусть данный инвариант выполняется на <tex>k</tex>''-ом'' шаге. Тогда на <tex>(k+1)</tex>''-ом'' шаге возможны 3 варианта:
# <tex>\mathtt{count } = 0</tex><p>Очевидно, что на подмассиве <tex>a[0..\ldots k]</tex> мажорирующего элемента не существует, так как все элементы разбились на пары. Тогда только <tex>a[k+1]</tex> может быть мажорирующим элементом.</p># <tex>\mathtt{count } > 0</tex> и <tex>a[k+1] = \mathtt{candidate}</tex><p>Если на подмассиве <tex>a[0..\ldots k]</tex> существует мажорирующий элемент, то он находится в <tex>\mathtt{candidate}</tex>. Тогда, в силу равенства <tex>a[k+1]</tex> и <tex>\mathtt{candidate}</tex>, если на подмассиве <tex>a[0..\ldots k+1]</tex> существует мажорирующий элемент, то он тоже будет равен <tex>\mathtt{candidate}</tex>.</p># <tex>\mathtt{count } > 0</tex> и <tex>a[k+1] \ne \mathtt{candidate}</tex><p>Если на подмассиве <tex>a[0..\ldots k]</tex> существует мажорирующий элемент, то он находится в <tex>\mathtt{candidate}</tex>. Тогда, в силу неравенства <tex>a[k+1]</tex> и <tex>\mathtt{candidate}</tex>, образовалась новая пара. Если <tex>\mathtt{count}</tex> не станет равным нулю, то, опять же, мажорирующим элементом может быть только <tex>\mathtt{candidate}</tex>, так как для всех остальных мы нашли пару, а, значит, встречаются они не более <tex>N/2</tex> раз.</p>
=== Псевдокод ===
'''function''' findMajorityElement(a: '''int*''', N: '''int''', K: '''int'''): '''int*''' ''<font color="green"> // candidates <tex>-</tex> — словарь, где ключ <tex>-</tex> — стоящий элемент,</font>'' ''<font color="green"> // значение <tex>-</tex> — количество таких стоящих элементов</font>''
'''for''' i = 0 '''to''' N - 1
'''if''' candidates.containsKey(a[i]) ''<font color="green">// нашли стоящий элемент</font>''
candidates[a[i]]++ ''<font color="green">// увеличим счетчик</font>''
'''else'''
'''if''' candidates.size() < K - 1 ''<font color="green">// полная группа не образована</font>''
candidates[a[i]] = 1 ''<font color="green">// добавим элемент в группу</font>''
'''else''' ''<font color="green">// образовалась полная группа</font>''
=== Доказательство ===
На <tex>i</tex>''-ом'' шаге поддерживается следующий инвариант: если на подмассиве <tex>a[0..\ldots i]</tex> существуют элементы, которые встречаются больше, чем <tex>i / K</tex> раз, то все они содержатся в <tex>\mathtt{candidates}</tex> и размер <tex>\mathtt{candidates}</tex> не превышает <tex>K</tex>. Тогда на <tex>N</tex>''-ом'' шаге <tex>\mathtt{candidates}</tex> будет содержать все возможные элементы, встречающиеся более, чем <tex>N / K</tex> раз, остается только выполнить проверку. Покажем, что данный инвариант всегда выполняется:
Пусть данный инвариант выполняется на <tex>k</tex>''-ом'' шаге. Тогда на <tex>(k+1)</tex>''-ом'' шаге возможны <tex>3</tex> варианта:
#<tex>a[k + 1] \in \mathtt{candidates}</tex><p>Размер <tex>\mathtt{candidates}</tex> не увеличен, текущий элемент останется стоять. Инвариант выполняется.</p>#<tex>a[k + 1] \notin \mathtt{candidates}</tex> и <tex>|\mathtt{candidates}| < K - 1</tex><p>Размер <tex>\mathtt{candidates}</tex> останется меньше <tex>K</tex>, текущей элемент останется стоять. Инвариант выполняется.</p>#<tex>a[k + 1] \notin \mathtt{candidates}</tex> и <tex>|\mathtt{candidates}| = K - 1</tex><p>Размер <tex>\mathtt{candidates}</tex> на данном шаге может только уменьшиться. Сажаем группу. Если какой-то элемент был удален на текущем шаге, то, значит, он встречался не более, чем <tex>(k + 1) / K</tex> раз, т.к. мы могли успеть посадить максимум <tex>(k + 1) / K</tex> групп. Тогда удаление данного элемента из <tex>\mathtt{candidates }</tex> ни к чему плохому не приведет. Инвариант выполняется.</p>
Рассмотрим среднее количество обращений к словарю за одну итерацию. На каждой итерации происходит не более <tex>1</tex> увеличения счетчика. Тогда, за все время, происходит не более <tex>N</tex> увеличений. Так как количество уменьшений счетчика не может превышать количество увеличений, то всего происходит не более <tex>2N</tex> обращений к словарю. Следовательно, сложность одной итерации составляет <tex>O(1)</tex>.
'''function''' findMajorityElement(a: '''int*''', N: '''int''', K: '''int'''): '''int''' '''while''''' true''
candidate = a[random(N)]
count = 0
На каждом шаге мы берем случайный элемент. Проверка на мажорируемость выполняется за <tex>O(N)</tex>. Вероятность, что мы выбрали элемент "удачно" составляет <tex>1 / K</tex>. Тогда, в среднем, мы будем делать <tex>K</tex> проверок. Итоговая сложность <tex>O(N \cdot K)</tex>.
== Источники информации==
* [http://habrahabr.ru/post/167177/ Habrahabr <tex>-</tex> — Поиск часто встречающихся элементов в массиве]* [http://algolist.ncstu.ru/olimp/poi_sol.php#a15 Algolist <tex>-</tex> — Решение задачи 15]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Амортизационный анализ]]
