13
правок
Изменения
→Доказательство
Пусть данный инвариант выполняется на <tex>k</tex>''-ом'' шаге. Тогда на <tex>(k+1)</tex>''-ом'' шаге возможны <tex>3</tex> варианта:
#<tex>a[k + 1] \in candidates</tex><p>Размер <tex>candidates</tex> не увеличен, текущий элемент останется стоять. Инвариант выполняется.</p>
#<tex>a[k + 1] \notin candidates</tex> и <tex>|candidates|() < K - 1</tex><p>Размер <tex>candidates</tex> останется меньше <tex>K</tex>, текущей элемент останется стоять. Инвариант выполняется.</p>#<tex>a[k + 1] \notin candidates</tex> и <tex>|candidates|() = K - 1</tex><p>Размер <tex>candidates</tex> на данном шаге может только уменьшиться. Сажаем группу. Если какой-то элемент был удален на текущем шаге, то, значит, он встречался не более, чем <tex>(k + 1) / K</tex> раз, т.к. мы могли успеть посадить максимум <tex>(k + 1) / K</tex> групп. Тогда удаление данного элемента из candidates ни к чему плохому не приведет. Инвариант выполняется.</p>
Рассмотрим среднее количество обращений к словарю за одну итерацию. На каждой итерации происходит не более <tex>1</tex> увеличения счетчика. Тогда, за все время, происходит не более <tex>N</tex> увеличений. Так как количество уменьшений счетчика не может превышать количество увеличений, то всего происходит не более <tex>2N</tex> обращений к словарю. Следовательно, сложность одной итерации составляет <tex>O(1)</tex>.
