Просмотр исходного текста страницы Максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев в графе с n вершинами

==Попарно непересекающиеся остовные деревья==
{{Утверждение
|id = max_spanning_tree                                                                                                                          
|statement=Максимальное количество попарно непересекающихся [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре#spanning_tree| остовных деревьев]]  в графе с <tex>n</tex> вершинами не более  <tex> \left \lfloor {\dfrac{n}{2}}\right \rfloor </tex>   
|proof =                                                                                                                                                                                                
Очевидно, что среди графов с <tex>n</tex> вершинами наибольшее количество непересекающихся остовных деревьев может быть только в полном графе. Количество ребер в таком графе равно <tex> \dfrac{n(n - 1)}{2}</tex>, а в каждом дереве <tex>n -
 1</tex> ребро. Значит, в полном графе мы сможем построить не более <tex> \left \lfloor {\dfrac{n(n - 1)}{2(n - 1)}}\right \rfloor =</tex> <tex dpi = "130">\left \lfloor {\dfrac{n}{2}}\right \rfloor</tex> остовных деревьев.   
}}

==Построение==                                                                                                         
===Описание алгоритма===                                                                                                                            
Расположим вершины на окружности так, чтобы они являлись вершинами правильного многоугольника, и выберем начальную вершину (рис.<tex>1</tex>). Для <tex>\left \lfloor {\dfrac{n}{2}}\right \rfloor</tex> вершин по часовой стрелке, начиная с этой вершины, будем строить остовные деревья. Для <tex>i</tex>-ой вершины строим такой путь <tex>:</tex><tex>V_i V_{i+1} V_{i-1} V_{i+2} V_{i-2}\ldots, </tex> {{---}} до тех пор, пока не соединим все вершины. Это и будет остовным деревом. (рис.<tex>2-3</tex>)                                                                                                      
{| cellpadding="10"                                                                                              
|-                                                                                                                  
|[[Файл:Max spanning tree1.png|thumb|300px|center|Рис.1 Стрелкой указана начальная вершина]] || [[Файл:Max spanning tree2.png|thumb|339px|center|Рис.2 Красным цветом выделено первое построенное остовное дерево]] || [[Файл:Max spanning tree6.png|thumb|270px|center|Рис.3 Все остовные деревья]]                                                           
|}

===Доказательство корректности===                                                                                                                                                                          
[[Файл:Max spanning tree3.png|thumb|250px|right|Рис.4 Черным цветом выделено рассматриваемое ребро, красным - все его повороты]] [[Файл:Max spanning tree4.png|thumb|250px|right|Рис.5 Черным цветом выделены рассматриваемые ребра, красным - остальные ребра остовного дерева]]Докажем, что построенные с помощью такого алгоритма остовные деревья будут попарно непересекающимися. Для этого докажем, что никакие ребра не совпадут. Ребра могут совпасть только в том случае, если дуги, на которые эти ребра опираются, будут одинаковой длины. Заметим, что при построении каждого последующего дерева его ребра получаются из поворотов ребер предыдущего на длину <tex> \dfrac{l}{n}</tex>, где <tex>l</tex> {{---}} длина окружности.                               Рассмотрим первое построенное остовное дерево.(рис.<tex>3</tex>) В нем не более <tex>2</tex>-х ребер имеют одинаковую длину дуги (длина дуги у ребра, расположенного на диаметре окружности, не совпадает с длиной дуги любого другого ребра данного остовного дерева). Значит, повороты только этих ребер могут совпасть между собой.                       
#Докажем, что повороты ребра, расположенного на диаметре окружности, не совпадут друг с другом (если <tex>n</tex> нечетно, то такого ребра не будет).<br> Чтобы хоть какой-то поворот совпал, мы должны повернуть ребро на <tex>180 ^{\circ}</tex>. Каждый раз мы поворачиваем ребро на <tex>\dfrac{360 ^{\circ}}{n}</tex>. А так как мы поворачиваем ребро не более чем <tex>\dfrac{n}{2} - 1</tex> раз, то в сумме мы повернем его на <br> <tex>\dfrac{360 ^{\circ}}{n} \cdot</tex>  <tex dpi = "200">(</tex><tex>\dfrac{n}{2} - 1 </tex><tex dpi = "200">)</tex> <tex>=180 ^{\circ} -  \dfrac{360 ^{\circ}}{n} < 180 ^{\circ}</tex>. А это значит, что никакие ребра не совпадут друг с другом. (рис.<tex>4</tex>) 
#Докажем для остальных ребер. (рис.<tex>5</tex>) <br>Возьмем ребро, которое не лежит на диаметре окружности. В данном остовном дереве есть ребро, которое имеет такую же длину дуги. Ориентируем данные ребра в сторону часовой стрелки. Чтобы повороты этих ребер совпали, нужно, чтобы совпали их начала и концы. Покажем, что их начала никогда не совпадут. Чтобы начало первого ребра совпало с началом второго, нужно первое ребро повернуть хотя бы на половину длины окружности, то есть на <tex> \dfrac{l}{2}</tex>. Для этого нам нужно сделать <tex> \dfrac{n}{2} </tex> поворотов: <tex> \dfrac{l}{n} \cdot \dfrac{n}{2} = \dfrac{l}{2}</tex>. Но мы делаем только <tex> \dfrac{n}{2} - 1</tex> поворот. Аналогично с поворотом второго ребра. Для нечетных <tex>n</tex> граф будет неполным, поэтому даже <tex> \dfrac{n}{2}</tex> поворотов может не хватить для совпадения ребер.

==См. также==                                                                                                        
*[[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре]]                                                         
*[[Остовное дерево в планарном графе]]                                                                                                                                                       
*[[Минимально узкое остовное дерево]]                                                                                                                        

==Источники информации==
*Карпов Д. В. {{---}} Теория графов, стр 297
                                                                               
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]                                                                            
[[Категория: Остовные деревья]]                                                                                        
[[Категория: Построение остовных деревьев]]