Максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев в графе с n вершинами — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
==Попарно непересекающиеся остовные деревья==
 
==Попарно непересекающиеся остовные деревья==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение

Текущая версия на 19:32, 4 сентября 2022

Попарно непересекающиеся остовные деревья

Утверждение:
Максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев в графе с [math]n[/math] вершинами не более [math] \left \lfloor {\dfrac{n}{2}}\right \rfloor [/math]
[math]\triangleright[/math]
Очевидно, что среди графов с [math]n[/math] вершинами наибольшее количество непересекающихся остовных деревьев может быть только в полном графе. Количество ребер в таком графе равно [math] \dfrac{n(n - 1)}{2}[/math], а в каждом дереве [math]n - 1[/math] ребро. Значит, в полном графе мы сможем построить не более [math] \left \lfloor {\dfrac{n(n - 1)}{2(n - 1)}}\right \rfloor =[/math] [math]\left \lfloor {\dfrac{n}{2}}\right \rfloor[/math] остовных деревьев.
[math]\triangleleft[/math]

Построение

Описание алгоритма

Расположим вершины на окружности так, чтобы они являлись вершинами правильного многоугольника, и выберем начальную вершину (рис.[math]1[/math]). Для [math]\left \lfloor {\dfrac{n}{2}}\right \rfloor[/math] вершин по часовой стрелке, начиная с этой вершины, будем строить остовные деревья. Для [math]i[/math]-ой вершины строим такой путь [math]:[/math][math]V_i V_{i+1} V_{i-1} V_{i+2} V_{i-2}\ldots, [/math] — до тех пор, пока не соединим все вершины. Это и будет остовным деревом. (рис.[math]2-3[/math])

Рис.1 Стрелкой указана начальная вершина
Рис.2 Красным цветом выделено первое построенное остовное дерево
Рис.3 Все остовные деревья

Доказательство корректности

Рис.4 Черным цветом выделено рассматриваемое ребро, красным - все его повороты
Рис.5 Черным цветом выделены рассматриваемые ребра, красным - остальные ребра остовного дерева
Докажем, что построенные с помощью такого алгоритма остовные деревья будут попарно непересекающимися. Для этого докажем, что никакие ребра не совпадут. Ребра могут совпасть только в том случае, если дуги, на которые эти ребра опираются, будут одинаковой длины. Заметим, что при построении каждого последующего дерева его ребра получаются из поворотов ребер предыдущего на длину [math] \dfrac{l}{n}[/math], где [math]l[/math] — длина окружности. Рассмотрим первое построенное остовное дерево.(рис.[math]3[/math]) В нем не более [math]2[/math]-х ребер имеют одинаковую длину дуги (длина дуги у ребра, расположенного на диаметре окружности, не совпадает с длиной дуги любого другого ребра данного остовного дерева). Значит, повороты только этих ребер могут совпасть между собой.
  1. Докажем, что повороты ребра, расположенного на диаметре окружности, не совпадут друг с другом (если [math]n[/math] нечетно, то такого ребра не будет).
    Чтобы хоть какой-то поворот совпал, мы должны повернуть ребро на [math]180 ^{\circ}[/math]. Каждый раз мы поворачиваем ребро на [math]\dfrac{360 ^{\circ}}{n}[/math]. А так как мы поворачиваем ребро не более чем [math]\dfrac{n}{2} - 1[/math] раз, то в сумме мы повернем его на
    [math]\dfrac{360 ^{\circ}}{n} \cdot[/math] [math]([/math][math]\dfrac{n}{2} - 1 [/math][math])[/math] [math]=180 ^{\circ} - \dfrac{360 ^{\circ}}{n} \lt 180 ^{\circ}[/math]. А это значит, что никакие ребра не совпадут друг с другом. (рис.[math]4[/math])
  2. Докажем для остальных ребер. (рис.[math]5[/math])
    Возьмем ребро, которое не лежит на диаметре окружности. В данном остовном дереве есть ребро, которое имеет такую же длину дуги. Ориентируем данные ребра в сторону часовой стрелки. Чтобы повороты этих ребер совпали, нужно, чтобы совпали их начала и концы. Покажем, что их начала никогда не совпадут. Чтобы начало первого ребра совпало с началом второго, нужно первое ребро повернуть хотя бы на половину длины окружности, то есть на [math] \dfrac{l}{2}[/math]. Для этого нам нужно сделать [math] \dfrac{n}{2} [/math] поворотов: [math] \dfrac{l}{n} \cdot \dfrac{n}{2} = \dfrac{l}{2}[/math]. Но мы делаем только [math] \dfrac{n}{2} - 1[/math] поворот. Аналогично с поворотом второго ребра. Для нечетных [math]n[/math] граф будет неполным, поэтому даже [math] \dfrac{n}{2}[/math] поворотов может не хватить для совпадения ребер.

См. также

Источники информации

  • Карпов Д. В. — Теория графов, стр 297