Изменения
→Определение
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Определение ==
Математическая индукция {{---}} способ рассуждения, применяемый, в частности, в [[Математический анализ 1 курс|математическом анализе]], заключающийся в следующем:
Пусть имеется последовательность свойств <tex> P_1, P_2 \dots P_n \dots </tex>
# <tex> P_1 </tex> {{---}} истина
# <tex> P_n P_k \Rightarrow P_{nk+1} </tex> {{---}} шаг индукции
# Тогда все <tex> P_n </tex> {{---}} истинны
== Примеры использования ==
=== Неравенство Бернулли ===
{{Утверждение
|about =
|proof = <br />
# <tex> n = 1: 1 + x \ge 1 + x </tex> {{---}} верно
# <tex> {(1 + x)}^{n + 1} = {(1 + x)}^n (1 + x) \ge (1 + nx) (1 + x) = </tex><br /><tex> = 1 + x + nx + nx^2 \ge = 1 + (n + 1)x - P_+ nx^2</tex>, так как <tex> nx^2 \ge 0 </tex>, то <tex> {(1 + x)}^{n+1} \ge 1 + (n + 1)x </tex>
}}
=== Конечный бином Ньютона ===
Для того, чтобы сформировать следующее утверждение, определим систему чисел, называемую биномиальными коэффициентами: <br />
# Для n = 1 {{---}} очевидно
# <tex> {(a + b)}^{n + 1} = a{(a + b)}^n + b{(a + b)}^n = </tex><br />
:<tex> = \sum_sum\limits_{k = 0}^n C_n^k a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_sum\limits_{k = 0}^n C_n^k a^k b^{n - k + 1} = </tex>
:<tex> = \sum_sum\limits_{j = 1}^{n + 1} C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + \sum_sum\limits_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = </tex>
:<tex> = C_n^n a^{n + 1} b^0 + \sum_sum\limits_{j = 1}^n C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + C_n^0 a^0 b^{n+1} + \sum_sum\limits_{i = 1}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = </tex>
:<tex> = 1 (a^{n + 1} + b^{n + 1}) + \sum_sum\limits_{j = 1}^n (C_n^{j - 1} + C_n^j) a^j b^{n - j + 1}</tex>
:Так как <tex>1 = C_{n + 1}^{n + 1} = C_{n + 1}^0 </tex> , то
:<tex> = C_{n + 1}^{n + 1} a^{n + 1} b^0 + C_{n + 1}^0 a^0 b^{n + 1} + \sum_sum\limits_{j = 1}^n C_{n + 1}^j a^j b^{n - j + 1}</tex>
:Занесем первые два слагаемых под знак суммы и получим:
:<tex> = \sum_sum\limits_{j = 0}^{n + 1} C_{n + 1}^j a^j b^{n + 1 - j}</tex> , что есть разложение для <tex> {(a + b)}^{n + 1} </tex>
}}
