Изменения

Пусть |statement=Математическое ожидание времени поглощения можно посчитать как сумму всех элементов вектора <tex> p^r_j v </tex> - количество раз, которое цепь Маркова находится в состоянии <tex> j </tex> за первые <tex> r </tex> шагов. Рассмотрим где <tex> v[j] </tex> {{- --}} среднее количество раз, которое мы побываем в состоянии j (далее <tex> E(x) j </tex> означает математическое ожидание величины <tex> x </tex>):.

|proof=Пусть <tex> v[j] = E(p^r_j) = E(p^b_0 </tex> {{r-1--}_j) + b_{r}вектор вероятностей начальных состояний, то есть <tex> b_0[j] = (\sum\limits_</tex> {t = 0}^{r---}b_{t})вероятность для цепи Маркова начать в состоянии <tex> j </tex>. Определим <tex> b_r[j] = b_0(\sum\limits_{t = 0}^{</tex> как вероятность находиться в состоянии <tex> j </tex> после первых <tex> r}Q^{t})[j] </tex>шагов.

Отсюда За значение случайной величины в формуле [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] <tex> v E\xi = b_0 \sum\limits_xi(\omega)p(\omega) </tex> примем <tex> \xi = \left\{t = 0 \begin{array}^{rll}Q^ 1,& b_i[j] > 0 \\ 0,& b_i[j] = 0, \forall i \end{tarray} \right. \Rightarrow \xi\cdot b_i[j] = b_i[j] </tex>. После <tex> r </tex> шагов <tex> b_r = b_0 NQ^r </tex>, где N - (доказательство аналогично части [[фундаментальная матрицатеорема о поглощении|фундаментальная матрицатеоремы о поглощении]]).

Математическое ожидание можно посчитать как сумму всех элементов вектора Пусть <tex> p^r_j </tex> {{---}} количество раз, которое [[Марковская цепь|цепь Маркова]] находится в состоянии <tex> j </tex> за первые <tex> r </tex> шагов. Рассмотрим <tex> v[j] </tex>: <tex> v[j] = E(p^r_j) = E(p^{r-1}_j) + \xi\cdot b_{r}[j] = E(p^{r-2}_j) + b_{r-1}[j] + b_{r}[j] = (\sum\limits_{t = 0}^{r}b_{t})[j] = b_0(\sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t})[j] </tex>. Отсюда <tex> v = b_0 \sum\limits_{t = 0}^{r}Q^{t} = b_0 N</tex>, где <tex> N </tex> {{---}} [[фундаментальная матрица|фундаментальная матрица]].}} ==См.также==* [[Расчет вероятности поглощения в состоянии]]* [[Примеры использования Марковских цепей]]