Редактирование: Математическое ожидание случайной величины

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
==Математическое ожидание случайной величины==
 
==Математическое ожидание случайной величины==
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition='''Математическое ожидание''' (англ. ''mean value'') <tex> \left( E\xi \right) </tex> {{---}} мера среднего значения случайной величины, равная <tex>E\xi = \sum \xi(\omega) \cdot p(\omega)</tex>
+
|definition='''Математическое ожидание''' (англ. ''mean value'') <tex> \left( E\xi \right) </tex> {{---}} мера среднего значения случайной величины, равная <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega)</tex>
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема  
 
{{Теорема  
|statement= <tex>\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>
+
|statement= <tex>\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>
|proof= <tex>\sum\limits_a  \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>
+
|proof= <tex>\sum\limits_a  \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 38: Строка 38:
 
Согласно определению математического ожидания, <tex>E(\xi \cdot \eta) = \sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)</tex>.
 
Согласно определению математического ожидания, <tex>E(\xi \cdot \eta) = \sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)</tex>.
  
По теореме, <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>. Поэтому <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)=\sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b)</tex>.
+
По теореме, <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>. Поэтому <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)=\sum\limits_a a\sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b)</tex>.
  
 
Поскольку <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые величины, <tex>p(\xi = a,\eta = b) = p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)</tex>.
 
Поскольку <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые величины, <tex>p(\xi = a,\eta = b) = p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)</tex>.
  
Тогда получаем, что <tex>\sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)=\sum\limits_a a\cdot p(\xi=a) \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\eta = b)=E(\xi) \cdot E(\eta)</tex>.
+
Тогда получаем, что <tex>\sum\limits_a a\sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b)=</tex><tex>\sum\limits_a a\sum\limits_b b \cdot p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)=\sum\limits_a a\cdot p(\xi=a)\sum\limits_b b \cdot p(\eta = b)=E(\xi) \cdot E(\eta)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 51: Строка 51:
 
Математическое ожидание <tex>E</tex> линейно.  
 
Математическое ожидание <tex>E</tex> линейно.  
 
|proof=
 
|proof=
# <tex>E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w)) \cdot p(w) = \sum\limits_w \xi(w) \cdot p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w) \cdot p(w) = E(\xi) + E(\eta) </tex>
+
# <tex>E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w))p(w) = {\sum_w \limits}\xi(w)p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w)p(w) = E(\xi) + E(\eta) </tex>
 
# <tex>E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} действительное число.
 
# <tex>E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} действительное число.
  
Строка 76: Строка 76:
 
Рассмотрим случайные величины <tex>\xi^i</tex> {{---}} совпал ли у строк  <tex> i </tex>-тый символ.  
 
Рассмотрим случайные величины <tex>\xi^i</tex> {{---}} совпал ли у строк  <tex> i </tex>-тый символ.  
 
Найдем математическое ожидание этой величины
 
Найдем математическое ожидание этой величины
<tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i]) \ </tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тые символы соответствующих строк.
+
<tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])</tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тые символы соответствующих строк.
 
Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\dfrac{1}{k}</tex>.
 
Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\dfrac{1}{k}</tex>.
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)