Изменения

|definition='''Математическое ожидание''' (англ. ''mathematical expectationmean value'') (<tex>\left( E\xi\right) </tex>) {{---}} мера среднего значения случайной величины, равна равная <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)\cdot p(\omega)</tex>

|statement= <tex>\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega)\cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>|proof= <tex>\sum\limits_a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega)\cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>

===Пример===

<tex> E\xi = 1\cdot \genfrac{}{}{1pt}{}dfrac{1}{6}+2\cdot \genfrac{}{}{1pt}{}dfrac{1}{6} \dots +6\cdot \genfrac{}{}{1pt}{}dfrac{1}{6} = 3.5</tex>

* Математическое ожидание числа есть само число.{{Утверждение|about=о матожидании константы:|statement=<tex>E(a) = a</tex>, где <tex>a \in R</tex> {{---}} константа.* Математическое ожидание сохраняет неравенства.}} {{Утверждение|about=о матожидании неравенств:|statement=Если <tex>0 \le a leqslant \xi \leqslant \le beta</tex>, и <tex>b\eta</tex> {{---}} случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <tex>a\xi</tex> также конечно, и <tex>0 \le leqslant E(a\xi) \le leqslant E(b\eta)</tex>.* Математическое ожидание не зависит от поведения }} {{Утверждение|about=о матожидании случайной величины на событии вероятности нуль.:|statement=Если <tex>a \xi = b\eta</tex>, то <tex>E(a\xi) = E(b\eta)</tex>.* Математическое ожидание произведения }} {{Утверждение|about=о матожидании двух независимых случайных величин |statement=Если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} две независимые случайные величины, то <tex>E(\xi \cdot \eta) = E(\xi) \cdot E(\eta)</tex>|proof=Согласно определению математического ожидания, <tex>E(\xi \cdot \eta) = \sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)</tex>. По теореме, <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)</tex>. Поэтому <tex>\sum\limits_{\omega} \xi(\omega)\cdot\eta(\omega)\cdot p(\omega)=\sum\limits_a a\cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b)</tex>. Поскольку <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые величины, <tex>p(\xi = a,\eta = b) = p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)</tex> равно произведению их математических ожиданий.:Тогда получаем, что <tex>E\sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a,\eta = b) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\xi = a)\cdot p(\eta = b)=\sum\limits_a a\cdot p(\xi=a ) \cdot \sum\limits_b b \cdot p(\eta = b) = E(a\xi) \cdot E(b\eta)</tex>.}} 

# <tex>E(\xi + \eta) = {\sum_w \limits}(\xi(w) + \eta(w))\cdot p(w) = {\sum_w sum\limits}limits_w \xi(w)\cdot p(w) + {\sum_w \limits}\eta(w)\cdot p(w) = E(\xi) + E(\eta) </tex># <tex>E(\alpha\xi) = {\sum_w \limits}\alpha\xi(w) = \alpha{\sum_w \limits}\xi(w) = \alpha E(\xi)</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} действительное число.

Рассмотрим три примеразадачи.

<tex>E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \fracdfrac{1}{7}=3</tex>

<tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])\ </tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> {{---}} <tex>i</tex>-тые символы соответствующих строк.Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\fracdfrac{1}{k}</tex>.

Итоговый результат: <tex>E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\fracdfrac{n}{k} </tex>

Очевидно, что вероятность любой перестановки равна <tex> \dfrac{1 \over }{n!} </tex>

Тогда <tex> E\xi = \dfrac{1 \over }{n!}\cdot{\sum_{i=1}^{n!}\limits}E({\xi^i) } </tex>

Тогда <tex> A = (p_n, p_{n-1}, \dots, p_1) </tex> является перевёрнутой перестановкой <tex> P </tex>. Докажем, что количество инверсий в этих двух перестановках равно <tex> \dfrac{n\cdot(n-1)}{2} </tex> Рассмотрим все пары <tex> 1 \leqslant i < j \leqslant n </tex>, таких пар всего <tex> \dfrac{n\cdot(n-1)}{2} </tex>. Тогда пара этих чисел образуют инверсию или в <tex>P</tex>, или в <tex>A</tex>. Если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>P</tex>, то <tex>j</tex> будет стоять после <tex>i</tex> и уже не будет давать инверсию. Аналогично, если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>A</tex>. Всего таких пар из перестановки и перевернутой перестановкой перестановки будет <tex> \dfrac{n!}{2} </tex>. Итого: <tex> E\xi = \dfrac{1}{n!}\cdot\dfrac{n\cdot(n-1)}{2}\cdot\dfrac{n!}{2} = \dfrac{n\cdot(n-1)}{4} </tex> ==Примеры распределений== ===Распределение Бернулли===Случайная величина <tex>\xi</tex> имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: <tex>1</tex> и <tex>0</tex> с вероятностями <tex>p</tex> и <tex>q \equiv 1-p</tex> соответственно. Таким образом: :<tex>P(\xi = 1) = p</tex>:<tex> P (\xi = 0) = q</tex> Тогда несложно догадаться, чему будет равно математическое ожидание::<tex>E(\xi) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p</tex> ===Гипергеометрическое распределение===Гипергеометрическое распределение в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

ДокажемПусть имеется конечная совокупность, состоящая из <tex>N</tex> элементов. Предположим, что количество инверсий в этих двух перестановках равно <tex>D</tex> из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся <tex>N-D</tex> этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из <tex> n\cdot(n</tex> элементов. Пусть <tex>a</tex> {{---1) \over 2 }} случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности <tex>a</tex>имеет вид:

Рассмотрим все пары :<tex> 1 P_\leqslant i < j xi(k) \equiv P(\xi = k) = \dfrac{C_D^k \leqslant cdot C_{N-D}^{n -k}}{C_N^n}</tex>, таких пар всего где <tex> C_n^k \equiv \dfrac{n!}{k! \cdot(n-1k) \over 2 </tex>. Тогда пара этих чисел образуют инверсию или в <tex>P</tex>, или в <tex>A</tex>. Если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>P</tex>, то <tex>j</tex> будет стоять после <tex>i</tex> и уже не будет давать инверсию. Аналогично, если <tex>j</tex> стоит раньше <tex>i</tex> в перестановке <tex>A!}</tex>обозначает биномиальный коэффициент.

Всего таких пар из перестановки и перевернутой перестановки будет Гипергеометрическое распределение обозначается <tex> \xi \sim \mathrm{HG}(D,N,n! \over 2} )</tex>.

ИтогоФормула математического ожидания для гипергеометрического распределения имеет вид:: <tex> E(\xi ) = {1 \over n!}\cdotdfrac{n \cdot (n-1) \over 2}\cdot{n! \over 2D} = {n \cdot (n-1) \over 4N} </tex>

==Смотри См. также==* [[Дискретная случайная величина]]