Изменения

'''Матрицей Кирхгофа''' [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84[Основные определения теории графов#.D0.BF.D1.80.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.BE.D0.B9_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84 def_simple_graph|простого графа]] <tex>G = (V,E) </tex> называется матрица <tex> K (|V| \times |V|) = \parallel k_{i,j} \parallel </tex>, элементы которой определяются равенством: <tex>

0, \mbox{ elseotherwise}.

Иными словами, на главной диагонали матрицы Кирхгофа находятся степени вершин, а на пересечении <tex>i</tex>-й строки и <tex>j</tex>-го столбца (<tex>i \ne j</tex>) стоит <tex>-1</tex>, если вершины с номерами <tex>i</tex> и <tex>j</tex> смежны, и <tex>0 </tex> в противном случае.

1{{Утверждение|statement=Сумма элементов каждой строки (столбца) Матрица матрицы Кирхгофа является симметрической (т.е. симметрична относительно главной диагонали)равна нулю:: <tex>\ \sum_{i=1}^{|V|} k_{i,j} = 0</tex>.}} {{Утверждение|statement=Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю:: <tex>\det K=0</tex>|proof=<tex> \det K = \begin{vmatrix}k_{1, 1} & k_{1, 2} & \cdots & k_{1, |V|} \\k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}\end{vmatrix}</tex>

2Прибавим к первой строке все остальные строки (это не изменит значение определителя) Связь с матрицей смежности:

<tex>\begin{vmatrix}k_{1, 1} + k_{2, 1} + \cdots + k_{|V|, 1} & k_{1, 2} + k_{2, 2} + \cdots + k_{|V|, 2} & \cdots & k_{1, |V|} + k_{2, |V|} + \cdots + k_{|V|, |V|} \\k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}\end{vmatrix}</tex> Так как сумма элементов каждого столбца равна <tex>0</tex>, получим: <tex>\det K = \begin{vmatrix}0 & 0 & \cdots & 0 \\k_{2, 1} & k_{2, 2} & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}\end{vmatrix} = 0</tex>}} {{Утверждение|statement=Матрица Кирхгофа простого графа симметрична:: <tex>\ k_{i,j} = k_{j,i}\quad i,j=1, \ldots, |V|</tex>.}} {{Утверждение|statement=Связь с [[Матрица смежности графа|матрицей смежности]]: :<tex> K =

\mathrm{deg}(v_1) & 0 & \cdots & 0 \\0 & \mathrm{deg}(v_2) & \cdots & 0 \\

0 & 0 & \cdots & \mathrm{deg}(v_n)

{{Утверждение|statement=[[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности|Связь с матрицей инцидентности]]: :<tex> K = I \cdot I^T, </tex> где <tex>AI</tex> — матрица смежности инцидентности некоторой ориентации графа.}} {{Утверждение|statement=<tex>0</tex> является [[Собственные векторы и собственные значения|собственным значением]] матрицы, кратность его равна числу [[Отношение связности, компоненты связности|компонент связности]] графа .|proof=Собственным значением матрицы называют значения <tex>\lambda</tex>, которые удовлетворяют уравнению: <tex>\begin{vmatrix}k_{1, 1} - \lambda &k_{1, 2} & \cdots & k_{1, |V|} \\k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V| - \lambda}\end{vmatrix} = 0</tex> Прибавим к первой строке все остальные строки (это не изменит значение определителя): <tex>\begin{vmatrix}k_{1, 1} + k_{2, 1} + \cdots + k_{|V|, 1} - \lambda & k_{1, 2} + k_{2, 2} + \cdots + k_{|V|, 2} - \lambda & \cdots & k_{1, |V|} + k_{2, |V|} + \cdots + k_{|V|, |V|} - \lambda \\k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda\end{vmatrix}</tex> Так как сумма элементов каждого столбца равна <tex>0</tex>, получим: <tex>\begin{vmatrix} - \lambda &-\lambda & \cdots & - \lambda \\k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda\end{vmatrix} = 0</tex> <tex>- \lambda\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|} - \lambda\end{vmatrix}= 0. </tex> Следовательно, <tex>0</tex> является собственным значением. '''Доказательство кратности:''' Пусть дан граф <tex>G</tex>c <tex>n</tex> компонентами связности. Перенумеруем его вершины так, чтобы сначала шли вершины первой компоненты связности, затем второй и т.д. Тогда матрица Кирхгофа примет блочно-диагональный вид, и <tex>i</tex>-тый блок этой матрицы будет являтся матрицей Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности. Из свойства блочно-диагональной матрицы <tex>\det K = \det K_{1} \cdot \det K_{2} \cdot \ldots \cdot \det K_{n}</tex>, где <tex>K_{i}</tex> — матрица Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности, и свойства, доказанного выше,  <tex>\det K_{i} = - \lambda \cdot det X_{i} \quad \Rightarrow \quad \det K = (-1)^{n} \cdot \lambda^{n} \cdot \det X_{1} \cdot \det X_{2} \cdot \ldots \cdot \det X_{n}</tex> }} ==См.также==

3) *[[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности|Связь ]]*[[Подсчет числа остовных деревьев с матрицей инцидентностипомощью матрицы Кирхгофа]]: <tex> K = I \cdot I^T, </tex> где <tex>I</tex> — матрица инцидентности некоторой ориентации графа.

==Источникиинформации==

''*Асанов М., Баранский В., Расин В.'' — : Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 . стр.<br>18*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2%F0%E8%F6%E0_%CA%E8%F0%F5%E3%EE%F4%E0 Википедия, — Матрица Кирхгофа]

[[Категория: Остовные деревья ]][[Категория: Свойства остовных деревьев ]]