3622
правки
Изменения
м
→Источники информации
</tex>
Прибавим к первой строке все остальные строки(это не изменит значение определителя):
<tex>\begin{vmatrix}
{{Утверждение
|statement=<tex>0</tex> является [[Собственные векторы и собственные значения|собственным значением]] матрицы, кратность его равна числу [[Отношение связности, компоненты связности|компонент связности]] графа.
|proof=Собственным значением матрицы называют значения <tex>\lambda</tex>, которые удовлетворяют уравнению:
</tex>
Прибавим к первой строке все остальные строки(это не изменит значение определителя):
<tex>\begin{vmatrix}
Следовательно, <tex>0</tex> является собственным значением.
'''Доказательство кратности:'''
Пусть дан граф <tex>G</tex> c <tex>n</tex> компонентами связности. Перенумеруем его вершины так, чтобы сначала шли вершины первой компоненты связности, затем второй и т.д. Тогда матрица Кирхгофа примет блочно-диагональный вид, и <tex>i</tex>-тый блок этой матрицы будет являтся матрицей Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности.
Из свойства блочно-диагональной матрицы <tex>\det K = \det K_{1} \cdot \det K_{2} \cdot \ldots \cdot \det K_{n}</tex>, где <tex>K_{i}</tex> — матрица Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности, и свойства, доказанного выше,
<tex>\det K_{i} = - \lambda \cdot det X_{i} \quad \Rightarrow \quad \det K = (-1)^{n} \cdot \lambda^{n} \cdot \det X_{1} \cdot \det X_{2} \cdot \ldots \cdot \det X_{n}</tex>
}}
*Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. стр. 18
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2%F0%E8%F6%E0_%CA%E8%F0%F5%E3%EE%F4%E0 Википедия, — Матрица Кирхгофа]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]][[Категория: Свойства остовных деревьев ]]
