748
правок
Изменения
→Оценка памяти и времени работы
==Оценка памяти и времени работы==
Матрица смежности занимает <tex>O(|V|^2)</tex> памяти. За <tex>O(1)</tex> можно определить вес ребра или его наличие между любыми двумя вершинами. Из этого следуетТакой способ хранения графа хорошо подходит для плотных графов, что если граф маленький и мало ребер, то такой метод использовать хуже, чем список ребер, но если граф большой и в нем много ребер, то лучше использовать матрицу смежностикоторых число рёбер между различными парами вершин <tex>\Omega(|V|^2)</tex>.
== Свойства ==
|statement=Для графов без петель и кратных рёбер главная диагональ матрицы смежности целиком состоит из нулей.
}}
{{Утверждение
|about=о сумме элементов строки матрицы смежности для ориентированного графа
|statement=Сумма элементов <tex>i</tex>-й строки равна <tex>deg^- v_i</tex>, то есть <tex>\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^- v_i</tex>.
Аналогично сумма элементов <tex>j</tex>-го стоблца равна <tex>deg^+ v_j</tex>, то есть <tex>\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^+ v_j</tex>.
}}
{{Утверждение
|about=о сумме элементов строки матрицы смежности для неориентированного графа
|statement=Матрица смежности является симметричной.
|proof=
}}
{{Теорема
|about=о поиске количества путей заданной длины с помощью матрицы смежности ориентированного графа|statement= Пусть <tex>A_{[V\times{}V]}=\alpha_{i,j}</tex> — [[Матрица смежности графа|матрица смежности]] [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|ориентированного графа]] <tex>G=(V,E)</tex> без петель и <tex>A^l=\gamma_{i,j}</tex>, где <tex>l\in\mathbb{N}</tex>. Тогда <tex>\gamma_{i,j}</tex> равно количеству путей <tex>v_i\leadsto{}v_j</tex> длины <tex>l</tex>.
|proof=Утверждение очевидно при <tex>l = 1</tex>. Пусть <tex>l > 1</tex>, и утверждение верно для <tex>l - 1</tex>. Тогда <tex>A^{l-1}=\varepsilon_{i,j}</tex>, где <tex>\varepsilon_{i,j}</tex> равно количеству путей <tex>v_i\leadsto{}v_j</tex> длины <tex>l-1</tex>. Следовательно,
== См. также ==
* [[Матрица инцидентности графа]]
