Матричное представление перестановок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 47: Строка 47:
 
== Применение ==
 
== Применение ==
  
* Благодаря последним свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре:
+
Благодаря последним свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре:
  
 
пусть задана матрица перестановки <tex>P = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}</tex> (она соответствует перестановке  <tex>\pi = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 1 && 3 && 2 \end{pmatrix}</tex> ), и матрица <tex>A = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix}</tex>,  
 
пусть задана матрица перестановки <tex>P = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}</tex> (она соответствует перестановке  <tex>\pi = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 1 && 3 && 2 \end{pmatrix}</tex> ), и матрица <tex>A = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix}</tex>,  
Строка 53: Строка 53:
 
тогда перемножив получим:  
 
тогда перемножив получим:  
  
<tex>PA = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  1 && 2 && 3 \\ 7 && 8 && 9 \\ 4 && 5 && 6 \\ \end{pmatrix}</tex>,
+
* <tex>PA = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  1 && 2 && 3 \\ 7 && 8 && 9 \\ 4 && 5 && 6 \\ \end{pmatrix}</tex>,
  
видно, что вторая и третья строки поменялись местами,
+
видно, что вторая и третья строки поменялись местами;
  
<tex>AP = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  1 && 3 && 2 \\ 4 && 6 && 5 \\ 7 && 9 && 8 \\ \end{pmatrix}</tex>,
+
* <tex>AP = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  1 && 3 && 2 \\ 4 && 6 && 5 \\ 7 && 9 && 8 \\ \end{pmatrix}</tex>,
  
 
видно, что второй и третий столбец поменялись местами.
 
видно, что второй и третий столбец поменялись местами.

Версия 06:57, 19 декабря 2011

Определение

Определение:
Матрица перестановки — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой находится лишь одна единица.


Каждая матрица перестановки размера [math]n \times n[/math] является матричным представлением перестановки порядка [math]n[/math].

Пусть дана перестановка [math]\sigma[/math] порядка [math]n[/math]:

[math]\begin{pmatrix} 1 && 2&& \ldots && n\\ \sigma(1)&& \sigma(2) && \ldots && \sigma(n) \end{pmatrix}[/math]

Соответствующей матрицей перестановки является матрица [math]n \times n[/math] вида:

[math]P_\sigma = \begin{pmatrix} \mathbf{e}_{\sigma(1)}\\ \mathbf{e}_{\sigma(2)}\\ \vdots \\ \mathbf{e}_{\sigma(n)} \end{pmatrix}[/math], где [math]\mathbf{e}_{i}[/math] — двоичный вектор длины [math]n[/math], [math]i[/math]-й элемент которого равен единице, а остальные равны нулю.

Пример

Перестановка:

[math]\pi = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 && 4\\ 4 && 2 && 1 && 3 \end{pmatrix}[/math]

Соответствующая матрица:

[math]P = \begin{pmatrix} 0 && 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}[/math]

Свойства

  • Для любых двух перестановок [math]\sigma, \pi[/math] их матрицы обладают свойством:
    [math]P_\sigma P_\pi = P_{\sigma \circ \pi}[/math]
  • Матрицы перестановки ортогональны, так что для каждой такой матрицы существует обратная:
    [math]P_\sigma^{-1} = P_\sigma^T[/math]
  • Умножение произвольной матрицы [math]M[/math] на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.
  • Умножение перестановочной матрицы на произвольную [math]M[/math] меняет местами строки в [math]M[/math].

Применение

Благодаря последним свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре:

пусть задана матрица перестановки [math]P = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}[/math] (она соответствует перестановке [math]\pi = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 1 && 3 && 2 \end{pmatrix}[/math] ), и матрица [math]A = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix}[/math],

тогда перемножив получим:

  • [math]PA = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 7 && 8 && 9 \\ 4 && 5 && 6 \\ \end{pmatrix}[/math],

видно, что вторая и третья строки поменялись местами;

  • [math]AP = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 && 3 && 2 \\ 4 && 6 && 5 \\ 7 && 9 && 8 \\ \end{pmatrix}[/math],

видно, что второй и третий столбец поменялись местами.

Ссылки