Изменения

== Определение Принцип работы ====== Умножение в бинарной системе ====[[Файл:mult_bin.png|300px|right|thumb|''Умножение в столбик'']] Умножение в бинарной системе счисления происходит точно так же, как в десятичной {{---}} по схеме ''умножения столбиком''. Если множимое {{---}} <tex>k</tex> разрядное, а множитель {{---}} <tex>n</tex> разрядный, то для формирования произведения требуется вычислить <tex>n</tex> частичных произведений и сложить их между собой.

Матричный умножитель ===== Вычисление частичных произведений =====В бинарной системе для вычисления частичного произведения можно воспользоваться логическими элементами <tex>\&</tex> {{---}} конъюнкторами.Каждое частичное произведение <tex>(m_i)</tex> {{---}} цифровая [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов|схема]]это результат выполнения <tex>k</tex> логических операции <tex>\&</tex> ( между текущим <tex>i</tex>, где <tex>i=1..n</tex>, разрядом множителя и всеми <tex>k</tex> разрядами множимого) и сдвига результата логической операции влево на число разрядов, осуществляющая умножение двух чисел c помощью [[Двоичный каскадный сумматор|двоичного каскадного сумматора]]соответствующее весу текущего разряда множителя.Матричный умножитель вычисляет частичные произведения по формуле:

== Принцип работы ====== Умножение в бинарной системе ====[[Файл:Двоумн.gif|90px|left]][[Файл:Матричный_умножитель_2.PNG|420px|thumb|right]]Умножение в бинарной системе счисления происходит точно так же, как в десятичной.Для формирования произведения требуется вычислить <tex>n</tex> m_i = 2^{i - 1} (где <tex>n</tex> — количество разрядов в числахa \& b_i) частичных произведений. Примечательно то, что в бинарной арифметике следует умножать только числа <tex>(i=1..n)</tex> и <tex>0</tex>. Это означает, что нужно прибавлять к сумме остальных частичных произведений либо множитель, либо ноль. Таким образом, для формирования частичного произведения можно воспользоваться логическими элементами “2И”.

==== Вычисление частичных произведений ====Для формирования частичного произведения, кроме операции умножения на один разряд, требуется осуществлять его сдвиг влево на число разрядов, соответствующее весу разряда множителя. Сдвиг можно осуществить простым соединением соответствующих разрядов Суммирование частичных произведений к необходимым разрядам двоичного сумматора.<br>Матричный умножитель вычисляет частичные произведения по формуле: <br><tex>m_i = 2^{i} a b_i</tex>==== Суммирование частичных произведений ====На этом этапе происходит сложение всех частичных произведений <tex> m. Во всех современных системах это происходит с помощью [[Дерево Уоллеса|дерева Уоллеса]]</tex>.

[[Файл:Mul_2Mult_3.jpg‎png|700px|right|thumb|Схема матричного умножителя]]Далее будем рассматривать умножение четырехразрядных чисел. Соответственно нам понадобится три четырёхразрядных сумматора. <br>Принципиальная схема умножителя, реализующая алгоритм двоичного умножения в столбик, для двух четырёх {{---}} разрядных чисел приведена на схемерисунке. Формирование частичных произведений в этой схеме осуществляют микросхемы осуществляется посредством логических элементов <tex>D1, D3, D5, D7 \&</tex>. В этих микросхемах содержится сразу четыре логических элемента “2И”Полные одноразрядные сумматоры обеспечивают формирование разрядов результата.==== Работа схемы ========= Этап 1 =====Сумматор, выполненный на микросхеме Разрядность результата {{---}} <tex>D6l</tex>, суммирует первое и второе частные произведения. При этом младший разряд первого частного произведения не нуждается в суммировании. Поэтому он подаётся на выход умножителя непосредственно (разряд определяется разрядностью множителя {{---}} <tex>M0n</tex>). <br>===== Этап 2 =====Второе частное произведение должно быть сдвинуто на один разряд. Это осуществляется тем, что младший разряд выходного числа сумматора и множимого {{---}} <tex>D6k</tex> соединяется со вторым разрядом произведения (:  <tex>M1l=n+k </tex>). Но тогда первое частное произведение необходимо сдвинуть на один разряд по отношению ко второму частному произведению! Это выполняется тем, что младший разряд группы входов <tex>A</tex> соединяется с первым разрядом частного произведения, первый разряд группы входов <tex>A</tex> соединяется со вторым разрядом частного произведения,   Все конъюнкторы работают параллельно.Полные одноразрядные сумматоры обеспечивают поразрядное сложение результатов конъюнкций и так же третий, четвертый и старшийпереносов из предыдущих разрядов сумматора. Однако старший разряд группы входов <tex>A</tex> не В приведенной схеме использованы четырех разрядные сумматоры с чем соединять! Вспомним, что если добавить к числу слева ноль, то значение числа не изменится, поэтому мы можем этот разряд соединить с общим проводом схемыпоследовательным переносом. <br>===== Завершение =====Точно таким же образом осуществляется суммирование третьего и четвёртого частного произведения. Это суммирование выполняют микросхемы Время выполнения операции умножения определяется временем распространения переносов до выходного разряда <tex>D4p8 </tex> и <tex>D2</tex> соответственно. Отличие заключается только в том, что здесь не нужно задумываться о старшем разряде предыдущей суммы, ведь предыдущая микросхема сумматора формирует сигнал переноса. ==== "'''Матричный умножитель" ''' ====Если внимательно посмотреть на схему '''матричного умножителя''' (англ. ''binary multiplier''), то можно увидеть, что она образует матрицу, сформированную проводниками, по которым передаются разряды числа <tex>A</tex> и числа <tex>B</tex>. В точках пересечения этих проводников находятся логические элементы “2И”<tex>\&</tex>. Именно по этой причине умножители, реализованные по данной схеме, получили название матричных умножителей. 

Частичные произведения вычисляются за <tex>n</tex> шагов. Сложение с вычислением переносов включает <tex>n - 1</tex> шаг. Последнее сложение можно выполнить за <tex>O(\log n)</tex>. <br> В итоге суммарное время работы: <br> <tex>O(n) + O(n) + O(\log n) = O(n) </tex> <br>Конкретно по нашей схеме: <br>Скорость работы схемы, приведенной на схеме определяется максимальным временем распространения сигнала. Это цепь <tex>D7, D6, D4, D2</tex>. <br>Время работы схемы можно сократить, если сумматоры располагать не последовательно друг за другом, как это предполагается алгоритмом, приведенным на первом рисунке (общая схема), а суммировать частичные произведения попарно, затем суммировать пары частичных произведений и т.д. В этом случае время выполнения операции умножения значительно сократится. <br> Особенно заметен выигрыш в быстродействии при построении многоразрядных умножителей, однако ничего не бывает бесплатно. В обмен на быстродействие придётся заплатить увеличением разрядности сумматоров, а значит сложностью схемы. <br>Если сумматоры частных произведений останутся той же разрядности, что и ранее, то разрядность сумматоров пар частичных произведений должна быть увеличена на единицу. <br>Разрядность сумматоров четвёрок частичных произведений будет на два разряда больше разрядности сумматоров частичных произведений и т.д. <br>

== Литература См. также ==* [[Дерево Уоллеса]]*[[Двоичный каскадный сумматор]] == Источники информации ==* [http://bookfi.net/book/556972 Е. Угрюмов "Цифровая схемотехника" 2001г. <br>]  * [http://bookfi.net/book/532753 Дк. Ф. Уэйкерли "Проектирование цифровых устройств, том 1." 2002г. <br>]  * [http://bookfi.net/book/637011 М.И. Богданович "Цифровые интегральные микросхемы" 1996г. <br>]  * В[http://library.Лespec. Шило "Популярные цифровые микросхемы" 1988гws/section6/article46. <br>html Схема умножителя]