Матричный умножитель — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Суммирование частичных произведений)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 72 промежуточные версии 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
 
 
Матричный умножитель {{---}} цифровая [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов|схема]], осуществляющая умножение двух чисел c помощью [[Двоичный каскадный сумматор|двоичного каскадного сумматора]].
 
 
 
== Принцип работы ==
 
== Принцип работы ==
 
==== Умножение в бинарной системе ====
 
==== Умножение в бинарной системе ====
[[Файл:Двоумн.gif|90px|left]]
+
[[Файл:mult_bin.png|300px|right|thumb|''Умножение в столбик'']]
[[Файл:Матричный_умножитель_2.PNG|420px|thumb|right]]
 
Умножение в бинарной системе счисления происходит точно так же, как в десятичной.
 
Для формирования произведения требуется вычислить <tex>n</tex> (где <tex>n</tex> — количество разрядов в числах) частичных произведений. Примечательно то, что в бинарной арифметике следует умножать только числа <tex>1</tex> и <tex>0</tex>. Это означает, что нужно прибавлять к сумме остальных частичных произведений либо множитель, либо ноль. Таким образом, для формирования частичного произведения можно воспользоваться логическими элементами “2И”.
 
  
==== Вычисление частичных произведений ====
+
Умножение в бинарной системе счисления происходит точно так же, как в десятичной {{---}}  по схеме ''умножения столбиком''.
Для формирования частичного произведения, кроме операции умножения на один разряд, требуется осуществлять его сдвиг влево на число разрядов, соответствующее весу разряда множителя. Сдвиг можно осуществить простым соединением соответствующих разрядов частичных произведений к необходимым разрядам двоичного сумматора.
+
Если множимое {{---}} <tex>k</tex> разрядное, а множитель {{---}} <tex>n</tex> разрядный, то для формирования произведения требуется вычислить <tex>n</tex>  частичных   произведений и сложить их между собой.
  
Матричный умножитель вычисляет частичные произведения по формуле:  
+
===== Вычисление частичных произведений =====
 +
В бинарной системе для вычисления частичного произведения можно воспользоваться логическими элементами <tex>\&</tex> {{---}} конъюнкторами.
 +
Каждое частичное произведение <tex>(m_i)</tex> {{---}} это результат выполнения <tex>k</tex> логических операции <tex>\&</tex> ( между текущим <tex>i</tex>, где  <tex>i=1..n</tex>, разрядом множителя и всеми <tex>k</tex> разрядами множимого) и сдвига результата логической операции влево на число разрядов, соответствующее весу текущего разряда множителя. Матричный умножитель вычисляет частичные произведения по формуле:  
  
<tex>m_i = 2^{i} a b_i</tex>
+
<tex>m_i = 2^{i - 1} (a \& b_i), (i=1..n)</tex>
==== Суммирование частичных произведений ====
+
 
На этом этапе происходит сложение всех частичных произведений m. В большинстве современных систем это происходит с помощью [[Дерево Уоллеса|дерева Уоллеса]].
+
===== Суммирование частичных произведений =====
 +
На этом этапе происходит сложение всех частичных произведений <tex> m </tex>.
  
 
==== Схема ====
 
==== Схема ====
[[Файл:Mul_2.jpg‎|right|Схема матричного умножителя]]
+
[[Файл:Mult_3.png|700px|right|thumb|Схема матричного умножителя]]
Далее будем рассматривать умножение четырехразрядных чисел. Соответственно нам понадобится три четырёхразрядных сумматора.  
+
Принципиальная схема умножителя, реализующая алгоритм двоичного умножения в столбик для двух четырёх {{---}} разрядных чисел приведена на рисунке.  
 +
Формирование частичных произведений осуществляется посредством логических элементов <tex>\&</tex>.
 +
Полные одноразрядные сумматоры обеспечивают формирование разрядов результата.
 +
Разрядность результата {{---}} <tex>l</tex> определяется разрядностью множителя {{---}} <tex>n</tex> и множимого {{---}} <tex>k</tex>:
  
Принципиальная схема умножителя, реализующая алгоритм двоичного умножения в столбик, приведена на схеме. Формирование частичных произведений в этой схеме осуществляют микросхемы <tex>D1, D3, D5, D7 </tex>. В этих микросхемах содержится сразу четыре логических элемента “2И”.
+
<tex> l=n+k </tex>.
==== Работа схемы ====
 
===== Этап 1 =====
 
Сумматор, выполненный на микросхеме <tex>D6</tex>, суммирует первое и второе частные произведения. При этом младший разряд первого частного произведения не нуждается в суммировании. Поэтому он подаётся на выход умножителя непосредственно (разряд <tex>M0</tex>).
 
  
===== Этап 2 =====
 
Второе частное произведение должно быть сдвинуто на один разряд. Это осуществляется тем, что младший разряд выходного числа сумматора <tex>D6</tex> соединяется со вторым разрядом произведения (<tex>M1</tex>). Но тогда первое частное произведение необходимо сдвинуть на один разряд по отношению ко второму частному произведению! Это выполняется тем, что младший разряд группы входов <tex>A</tex>  соединяется с первым разрядом частного произведения, первый разряд группы входов <tex>A</tex> соединяется со вторым разрядом частного произведения, и так же третий, четвертый и старший. Однако старший разряд группы входов <tex>A</tex>  не с чем соединять! Вспомним, что если добавить к числу слева ноль, то значение числа не изменится, поэтому мы можем этот разряд соединить с общим проводом схемы.
 
  
===== Завершение =====
+
Все конъюнкторы работают параллельно.
Точно таким же образом осуществляется суммирование третьего и четвёртого частного произведения. Это суммирование выполняют микросхемы <tex>D4</tex> и <tex>D2</tex> соответственно. Отличие заключается только в том, что здесь не нужно задумываться о старшем разряде предыдущей суммы, ведь предыдущая микросхема сумматора формирует сигнал переноса.
+
Полные одноразрядные сумматоры обеспечивают поразрядное сложение результатов конъюнкций и переносов из предыдущих разрядов сумматора.
 +
В приведенной схеме использованы четырех разрядные сумматоры с последовательным переносом.
 +
Время выполнения операции умножения определяется временем распространения переносов до  выходного разряда <tex> p8 </tex>.
  
===== Проводники =====
+
==== '''Матричный умножитель''' ====
Как мы можем видеть у нас на схеме <tex>8</tex> входов и <tex>8</tex> выходов. Как мы можем видеть, <tex>a0 - a3</tex> - это разряды первого числа, <tex>b0 - b3</tex> - это разряды второго числа. <tex>a2, b2, a3, b3</tex>  проводники идут ко всем микросхемам (<tex>D1, D3, D5, D7 </tex>), а <tex>a0, b0, a1, b1</tex> идут каждый только к одной микросхеме, <tex>a0</tex> к <tex>D7</tex>, <tex>b0</tex> к <tex>D5</tex>, <tex>a1</tex> к <tex>D3</tex>, <tex>b1</tex> к <tex>D1</tex>. А на выходе мы имеем  <tex>p0 - p7</tex> - это разряды конечного числа.
+
Если внимательно посмотреть на схему '''матричного умножителя''' (англ. ''binary multiplier''), то можно увидеть, что она образует матрицу, сформированную проводниками, по которым передаются разряды числа <tex>A</tex> и числа <tex>B</tex>. В точках пересечения этих проводников находятся логические элементы <tex>\&</tex>. Именно по этой причине умножители, реализованные по данной схеме, получили название матричных умножителей.
  
==== "Матричный умножитель" ====
 
Если внимательно посмотреть на схему умножителя, то можно увидеть, что она образует матрицу, сформированную проводниками, по которым передаются разряды числа <tex>A</tex> и числа <tex>B</tex>. В точках пересечения этих проводников находятся логические элементы “2И”. Именно по этой причине умножители, реализованные по данной схеме, получили название матричных умножителей.
 
 
==Схемная сложность==
 
==Схемная сложность==
 
Частичные произведения вычисляются за <tex>n</tex> шагов. Сложение с вычислением переносов включает <tex>n - 1</tex> шаг. Последнее сложение можно выполнить за <tex>O(\log n)</tex>.  
 
Частичные произведения вычисляются за <tex>n</tex> шагов. Сложение с вычислением переносов включает <tex>n - 1</tex> шаг. Последнее сложение можно выполнить за <tex>O(\log n)</tex>.  
Строка 46: Строка 40:
 
<tex>O(n) + O(n) + O(\log n) = O(n) </tex>  
 
<tex>O(n) + O(n) + O(\log n) = O(n) </tex>  
  
Конкретно по нашей схеме:
+
Время работы схемы можно сократить, если сумматоры располагать не последовательно друг за другом, как это предполагается алгоритмом, приведенным на первом рисунке (общая схема), а суммировать частичные произведения попарно, затем суммировать пары частичных произведений и т.д. В этом случае время выполнения операции умножения значительно сократится.
  
Скорость работы схемы, приведенной на схеме определяется максимальным временем распространения сигнала. Это цепь <tex>D7, D6, D4, D2</tex>.  
+
Особенно заметен выигрыш в быстродействии при построении многоразрядных умножителей, однако ничего не бывает бесплатно. В обмен на быстродействие придётся заплатить увеличением разрядности сумматоров, а значит сложностью схемы.
  
Время работы схемы можно сократить, если сумматоры располагать не последовательно друг за другом, как это предполагается алгоритмом, приведенным на первом рисунке (общая схема), а суммировать частичные произведения попарно, затем суммировать пары частичных произведений и т.д. В этом случае время выполнения операции умножения значительно сократится.
+
Есть и более быстрые способы умножения двух чисел, например умножение с помощью [[дерево Уоллеса|дерева Уоллеса]], которое работает <tex>O(\log n)</tex>.
  
Есть и более быстрые способы умножения двух чисел, например умножение с помощью [[дерево Уоллеса|дерева Уоллеса]], которое работает <tex>O(\log n)</tex>.
+
== См. также ==
 +
*[[Дерево Уоллеса]]
 +
*[[Двоичный каскадный сумматор]]
  
== Литература ==
+
== Источники информации ==
* Е. Угрюмов "Цифровая схемотехника" 2001г.  
+
* [http://bookfi.net/book/556972  Е. Угрюмов "Цифровая схемотехника" 2001г.]
  
* Дк. Ф. Уэйкерли "Проектирование цифровых устройств, том 1." 2002г.  
+
* [http://bookfi.net/book/532753  Дк. Ф. Уэйкерли "Проектирование цифровых устройств, том 1." 2002г.]
  
* М.И. Богданович "Цифровые интегральные микросхемы" 1996г.  
+
* [http://bookfi.net/book/637011 М.И. Богданович "Цифровые интегральные микросхемы" 1996г.]
  
* В.Л. Шило "Популярные цифровые микросхемы" 1988г.  
+
* [http://library.espec.ws/section6/article46.html Схема умножителя]
  
 
* ''[http://ru.wikipedia.org/wiki/Кормен Кормен Т.], [http://ru.wikipedia.org/wiki/Лейзерсон,_Чарльз_Эрик Лейзерсон Ч.], [http://ru.wikipedia.org/wiki/Ривест,_Рональд_Линн Ривест Р.]''. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Пер. с англ. под ред. А. Шеня. — М.: МЦНМО, 2000. — 960 с. — ISBN 5-900916-37-5
 
* ''[http://ru.wikipedia.org/wiki/Кормен Кормен Т.], [http://ru.wikipedia.org/wiki/Лейзерсон,_Чарльз_Эрик Лейзерсон Ч.], [http://ru.wikipedia.org/wiki/Ривест,_Рональд_Линн Ривест Р.]''. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Пер. с англ. под ред. А. Шеня. — М.: МЦНМО, 2000. — 960 с. — ISBN 5-900916-37-5
 +
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
 +
[[Категория: Схемы из функциональных элементов ]]

Текущая версия на 19:27, 4 сентября 2022

Принцип работы

Умножение в бинарной системе

Умножение в столбик

Умножение в бинарной системе счисления происходит точно так же, как в десятичной — по схеме умножения столбиком. Если множимое — [math]k[/math] разрядное, а множитель — [math]n[/math] разрядный, то для формирования произведения требуется вычислить [math]n[/math] частичных произведений и сложить их между собой.

Вычисление частичных произведений

В бинарной системе для вычисления частичного произведения можно воспользоваться логическими элементами [math]\&[/math] — конъюнкторами. Каждое частичное произведение [math](m_i)[/math] — это результат выполнения [math]k[/math] логических операции [math]\&[/math] ( между текущим [math]i[/math], где [math]i=1..n[/math], разрядом множителя и всеми [math]k[/math] разрядами множимого) и сдвига результата логической операции влево на число разрядов, соответствующее весу текущего разряда множителя. Матричный умножитель вычисляет частичные произведения по формуле:

[math]m_i = 2^{i - 1} (a \& b_i), (i=1..n)[/math]

Суммирование частичных произведений

На этом этапе происходит сложение всех частичных произведений [math] m [/math].

Схема

Схема матричного умножителя

Принципиальная схема умножителя, реализующая алгоритм двоичного умножения в столбик для двух четырёх — разрядных чисел приведена на рисунке. Формирование частичных произведений осуществляется посредством логических элементов [math]\&[/math]. Полные одноразрядные сумматоры обеспечивают формирование разрядов результата. Разрядность результата — [math]l[/math] определяется разрядностью множителя — [math]n[/math] и множимого — [math]k[/math]:

[math] l=n+k [/math].


Все конъюнкторы работают параллельно. Полные одноразрядные сумматоры обеспечивают поразрядное сложение результатов конъюнкций и переносов из предыдущих разрядов сумматора. В приведенной схеме использованы четырех разрядные сумматоры с последовательным переносом. Время выполнения операции умножения определяется временем распространения переносов до выходного разряда [math] p8 [/math].

Матричный умножитель

Если внимательно посмотреть на схему матричного умножителя (англ. binary multiplier), то можно увидеть, что она образует матрицу, сформированную проводниками, по которым передаются разряды числа [math]A[/math] и числа [math]B[/math]. В точках пересечения этих проводников находятся логические элементы [math]\&[/math]. Именно по этой причине умножители, реализованные по данной схеме, получили название матричных умножителей.

Схемная сложность

Частичные произведения вычисляются за [math]n[/math] шагов. Сложение с вычислением переносов включает [math]n - 1[/math] шаг. Последнее сложение можно выполнить за [math]O(\log n)[/math].

В итоге суммарное время работы:

[math]O(n) + O(n) + O(\log n) = O(n) [/math]

Время работы схемы можно сократить, если сумматоры располагать не последовательно друг за другом, как это предполагается алгоритмом, приведенным на первом рисунке (общая схема), а суммировать частичные произведения попарно, затем суммировать пары частичных произведений и т.д. В этом случае время выполнения операции умножения значительно сократится.

Особенно заметен выигрыш в быстродействии при построении многоразрядных умножителей, однако ничего не бывает бесплатно. В обмен на быстродействие придётся заплатить увеличением разрядности сумматоров, а значит сложностью схемы.

Есть и более быстрые способы умножения двух чисел, например умножение с помощью дерева Уоллеса, которое работает [math]O(\log n)[/math].

См. также

Источники информации