Матричный умножитель — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Матричный умножитель {{---}} Binary multiplier)
(Вычисление частичных произведений)
Строка 7: Строка 7:
  
 
===== Вычисление частичных произведений =====
 
===== Вычисление частичных произведений =====
В бинарной системе для вычисления частичного произведения можно воспользоваться логическими элементами <tex>\wedge</tex> {{---}} конъюнкторами.
+
В бинарной системе для вычисления частичного произведения можно воспользоваться логическими элементами <tex>\&</tex> {{---}} конъюнкторами.
Каждое частичное произведение (<tex>m_i</tex>) {{---}} это результат выполнения <tex>k</tex> логических операции <tex>\wedge</tex> ( между текущим <tex>i ( i=1..n)</tex> разрядом множителя и всеми <tex>k</tex> разрядами множимого) и сдвига результата логической операции влево на число разрядов, соответствующее весу текущего разряда множителя. Матричный умножитель вычисляет частичные произведения по формуле:  
+
Каждое частичное произведение (<tex>m_i</tex>) {{---}} это результат выполнения <tex>k</tex> логических операции <tex>\&</tex> ( между текущим <tex>i ( i=1..n)</tex> разрядом множителя и всеми <tex>k</tex> разрядами множимого) и сдвига результата логической операции влево на число разрядов, соответствующее весу текущего разряда множителя. Матричный умножитель вычисляет частичные произведения по формуле:  
  
 
<tex>m_i = 2^{i - 1} (a \wedge b_i), </tex>  <tex>(i=1..n)</tex>
 
<tex>m_i = 2^{i - 1} (a \wedge b_i), </tex>  <tex>(i=1..n)</tex>

Версия 17:05, 19 января 2016

Принцип работы

Умножение в бинарной системе

Умножение в столбик

Умножение в бинарной системе счисления происходит точно так же, как в десятичной — по схеме умножения столбиком. Если множимое — [math]k[/math] разрядное, а множитель — [math]n[/math] разрядный, то для формирования произведения требуется вычислить [math]n[/math] частичных произведений и сложить их между собой.

Вычисление частичных произведений

В бинарной системе для вычисления частичного произведения можно воспользоваться логическими элементами [math]\&[/math] — конъюнкторами. Каждое частичное произведение ([math]m_i[/math]) — это результат выполнения [math]k[/math] логических операции [math]\&[/math] ( между текущим [math]i ( i=1..n)[/math] разрядом множителя и всеми [math]k[/math] разрядами множимого) и сдвига результата логической операции влево на число разрядов, соответствующее весу текущего разряда множителя. Матричный умножитель вычисляет частичные произведения по формуле:

[math]m_i = 2^{i - 1} (a \wedge b_i), [/math] [math](i=1..n)[/math]

Суммирование частичных произведений

На этом этапе происходит сложение всех частичных произведений [math] m [/math].

Схема

Схема матричного умножителя

Принципиальная схема умножителя, реализующая алгоритм двоичного умножения в столбик для двух четырёх — разрядных чисел приведена на рисунке. Формирование частичных произведений осуществляется посредством логических элементов [math]\&[/math]. Полные одноразрядные сумматоры обеспечивают формирование разрядов результата. Разрядность результата — [math]l[/math] определяется разрядностью множителя — [math]n[/math] и множимого — [math]k[/math]:

[math] l=n+k [/math].


Все конъюнкторы работают параллельно. Полные одноразрядные сумматоры обеспечивают поразрядное сложение результатов конъюнкций и переносов из предыдущих разрядов сумматора. В приведенной схеме использованы четырех разрядные сумматоры с последовательным переносом. Время выполнения операции умножения определяется временем распространения переносов до выходного разряда [math] p8 [/math].

Матричный умножитель — Binary multiplier

Если внимательно посмотреть на схему умножителя, то можно увидеть, что она образует матрицу, сформированную проводниками, по которым передаются разряды числа [math]A[/math] и числа [math]B[/math]. В точках пересечения этих проводников находятся логические элементы [math]\&[/math]. Именно по этой причине умножители, реализованные по данной схеме, получили название матричных умножителей.

Схемная сложность

Частичные произведения вычисляются за [math]n[/math] шагов. Сложение с вычислением переносов включает [math]n - 1[/math] шаг. Последнее сложение можно выполнить за [math]O(\log n)[/math].

В итоге суммарное время работы:

[math]O(n) + O(n) + O(\log n) = O(n) [/math]

Время работы схемы можно сократить, если сумматоры располагать не последовательно друг за другом, как это предполагается алгоритмом, приведенным на первом рисунке (общая схема), а суммировать частичные произведения попарно, затем суммировать пары частичных произведений и т.д. В этом случае время выполнения операции умножения значительно сократится.

Особенно заметен выигрыш в быстродействии при построении многоразрядных умножителей, однако ничего не бывает бесплатно. В обмен на быстродействие придётся заплатить увеличением разрядности сумматоров, а значит сложностью схемы.

Есть и более быстрые способы умножения двух чисел, например умножение с помощью дерева Уоллеса, которое работает [math]O(\log n)[/math].

См. также

Источники информации